Integrales indefinidas dobles. Cálculo vectorial.

Introducción.

Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces su integral doble está dada por

$\displaystyle \iint_{R}{f(x, y) dA} = \lim_{||\Delta \rightarrow 0||}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_i, y_i) \Delta A_i}}$

Siempre y cuando el límite exista.

Propiedades de las integrales dobles.

Sean f y g funciones continuas en una región cerrada y acotada en R del plano, y sea c una constante.

$\displaystyle \iint_{R}{cf(x,y)dA} = c\iint_{R}{f(x,y)dA}$
$\displaystyle \iint_{R}{[f(x,y) \pm g(x,y)]dA} = \iint_{R}{f(x,y)dA} \pm \iint_{R}{g(x,y)dA}$
$\displaystyle \iint_{R}{f(x,y)dA} \ge 0$ si $f(x,y) \ge 0$
$\displaystyle \iint_{R}{f(x,y)dA} \ge \iint_{R}{g(x,y)dA}$ si $f(x,y) \ge g(x,y)$ .
$\displaystyle \iint_{R}{f(x,y)dA} = \iint_{R_1}{f(x,y)dA} + \iint_{R_2}{f(x,y)dA}$

Donde R representa la unión de dos subregiones $R_1$ y $R_2$ que no se sobreponen.

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iint{xy dxdy}$

Solución. Integrando la función con respecto a “dx”

$\displaystyle \iint{xy dxdy} = \int{\left[\int{xy dx}\right]dy} = \int{[y(\frac{x^2}{2}) + C_1]dy}$

Después, integrando la función con respecto a “dy”

$\displaystyle \int{[y(\frac{x^2}{2})+C_1]dy} = \int{(\frac{1}{2} x^2 y+C_1)dy} = \frac{1}{2} x^2 (\frac{1}{2} y^2) + C_1 y + C_2$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \iint{xy dxdy} = \frac{1}{4} x^2 y^2 + C_1 y + C_2$

Problema 2. resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iint{x^3 \sin{y} dydx}$

Solución. Integrando la función con respecto a “dy”

$\displaystyle \iint{x^3 \sin{y} dydx} = \int{\left[\int{x^3 \sin{y} dy} \right]dx} = \int{[x^3 (-\cos{y}) + C_1] dx}$

Después, integrando la función con respecto a “dx”

$\displaystyle = \int{(-x^3 \cos{y} + C_1)dx} = -\cos{y} (\frac{1}{4} x^4) + C_1 x + C_2 = -\frac{1}{4} x^4 \cos{y} + C_1 x + C_2$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \iint{x^3 \sin{y}dydx} = -\frac{1}{4} x^4 \cos{y} + C_1 x + C_2$

Problema 3. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iint{(x^2-1)z dydx}$

Solución. Se observa que la variable “z” es una constante ya que las diferenciales “dx” y “dy” son variables que están dentro de la integral doble. Luego, integrando la función con respecto a “dy”

$\displaystyle \iint{(x^2-1)z dydx} = z\iint{(x^2-1) dy dx} = z\int{\left[\int{(x^2-1)dy}\right]dx} = z\int{\left[y(x^2-1) + C_1 \right]dx}$

Después, integrando la función con respecto a “dx”

$\displaystyle = z\int{\left[y(x^2-1)+C_1\right]dx} = z\left[y(\frac{1}{3} x^3-x)+C_1 x + C_2 \right]$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \iint{(x^2-1)z dydx} = z\left[y(\frac{1}{3} x^3-x) + C_1 x + C_2 \right]$

Problema 4. Resolver la siguiente integral

$\displaystyle \iint{z^2 \ln{3y} dydz}$

Solución. Integrando la función con respecto a “dy”

$\displaystyle \iint{z^2 \ln{3y} dydz} = \int{\left[\int{z^2 \ln{3y} dy}\right]dz} = \int{z^2 \left[\int{\ln{3y} dy}\right]dz}$

Resolviendo la integral primero por sustitución y después por partes

$h=3y$

$\displaystyle \frac{dh}{dy} = 3$

$\displaystyle \frac{dh}{3} = dy$

____

$\displaystyle \int{\ln{3y} dy} = \int{\ln{h} \frac{dh}{3}} = \frac{1}{3} \int{\ln{h} dh}$

$\displaystyle \frac{1}{3} \int{\ln{h} dh}$

Las variables a tomar

$\displaystyle u = \ln{h}$

$\displaystyle \frac{du}{dh} = \frac{1}{h}$

$\displaystyle du = \frac{dh}{h}$

____

$dv=dh$

$\displaystyle \int{dv} = \int{dh}$

$v=h$

Sustituyendo en base a la fórmula de integración por partes

$\displaystyle \frac{1}{3} \int{\ln{h} dh} = \frac{1}{3} (h \ln{h} - \int{h \frac{dh}{h}}) = \frac{1}{3} (h \ln{h} - \int{dh}) = \frac{1}{3} (h \ln{h} - h + C_1)$

Recordando que $h=3y$

$\displaystyle \int{\ln{3y} dy} = \frac{1}{3} (3y \ln{3y} - 3y + C_1) = y \ln{3y} - y + C_1$

Regresando

$\displaystyle \int{z^2 \left[\int{\ln{3y} dy} \right]dz} = \int{ \left[z^2 (y \ln{3y} - y) + C_1 \right] dz}$

$\displaystyle = (y \ln{3y} - y) \int{z^2 dz} + C_1 \int{dz} = (y \ln{3y} - y)(\frac{1}{3} z^3) + C_1 z + C_2$

$\displaystyle = (y \ln{3y} - y)(\frac{1}{3} z^3) + C_1 z + C_2 = \frac{1}{3} yz^3 \ln{3y} - \frac{1}{3} yz^3 + C_1 z + C_2$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \iint{z^2 \ln{3y} dydz} = \frac{1}{3} yz^3 \ln{3y} - \frac{1}{3} yz^3 + C_1 z + C_2$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.

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Publicado por Cesar Reyes

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