La notación sigma. Cálculo integral.

Introducción

Para facilitar la escritura de un conjunto expresado en varias sumas en muchos términos, se utiliza la notación sigma. La letra griega mayúscula $\Sigma$ , que se llama sigma, es el símbolo matemático de la sumatoria.

Una forma general, se tiene que

$\displaystyle \sum_{k = m}^{n}{f(k)} = f(m) + f(m+1) + f(m+2) + ... + f(n)$

1-2LA NOTACION SIGMA — *Figura 1. Representación matemática del sigma.*

En la suma, el número “m” se denomina límite inferior y a $n$ se le llama límite superior, el símbolo $k$ (que también puede ser la letra $i$ , $j$ u otra) se denomina índice de la suma.

Algunas propiedades de las sumatorias

1.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{C}=C \cdot n$

donde $C$ es una constante cualquiera.

2.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{Cf(k)} = C \sum_{k=1}^{n}{f(k)}$

donde $C$ es una constante cualquiera.

3.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f(k) + g(k)}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}+\sum_{k=1}^{n}{g(k)}$

esta propiedad se puede extender a la suma de cualquier número de funciones.

4.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{f(k)-f(k-1)}=f(n) - f(0)$

Algunas fórmulas para la suma

1.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{{n}^{2}+n}{2}$

2.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2{n}^{3}+3{n}^{2}+n}{6}$

3.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{3}} = \frac{{n}^{2}{(n+1)}^{2}}{4} = \frac{{n}^{4}+2{n}^{3}+{n}^{2}}{4}$

4.- $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{4}} = \frac{n(n+1)(6{n}^{3}+9{n}^{2}+n+1)}{30} = \frac{6{n}^{5}+15{n}^{4}+10{n}^{3}+n}{30}$

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la siguiente suma

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)}$

Solución. Realizando la multiplicación algebraica

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)} = \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}-4k}$

Por la tercera propiedad

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{(5{k}^{2}-4k)} = \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}} - \sum_{k=1}^{n}{4k}$

Se utiliza la propiedad 2

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{5{k}^{2}} - \sum_{k=1}^{n}{4k} = 5\sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} - 4\sum_{k=1}^{n}{k}$

En la primera suma se utilizará la fórmula 2

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Y en la segunda suma, se usará la fórmula 1

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}$

Sustituyendo

$\displaystyle 5\sum_{k=1}^{n}{{k}^{2}} - 4\sum_{k=1}^{n}{k} = 5\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] - 4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]$

Por último, se reacomodarán los términos

$\displaystyle 5\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] - 4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] = 5\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right) - 4\left(\frac{n^2+n}{2}\right)$

$\displaystyle = \frac{10n^3+15n^2+5n}{6}-2n^2-2n = \frac{10}{6} {n}^{3} + \frac{15}{6} {n}^{2} + \frac{5}{6}n - 2{n}^{2} - 2n$

$\displaystyle = \frac{10}{6}{n}^{3} + \frac{3}{6}{n}^{2} - \frac{7}{6}n = \frac{5}{3}{n}^{3} + \frac{1}{2}{n}^{2} - \frac{7}{6}n$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \sum_{k=1}^{n}{k(5k-4)} = \frac{5}{3}{n}^{3} + \frac{1}{2}{n}^{2} - \frac{7}{6}n$

Problema 2. Obtener la suma siguiente

$\displaystyle \sum_{j=1}^{100}{3j}$

Solución. Aplicando la propiedad 2

$\displaystyle \sum_{j=1}^{100}{3j} = 3\sum_{j=1}^{100}{j}$

Por la fórmula 1

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{j} = \frac{n(n+1)}{2}$

Sustituyendo

$\displaystyle 3 \sum_{j=1}^{n}{j} = 3\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]$

Como $n = 100$

$\displaystyle 3\ \sum_{j=1}^{100}{j} = 3\left[\frac{100(100+1)}{2}\right] = 3\left[\frac{100(101)}{2} \right] = 15150$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \sum_{j=1}^{100}{3j} = 15150$

Problema 3. Resolver la siguiente suma

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}}$

Solución. Usando la propiedad 4

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{[f(i) - f(i-1)]} = f(n) - f(0)$

Sustituyendo

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}} = {2}^{n} - {2}^{0} = {2}^{n} - 1$

Por lo tanto

$\displaystyle \therefore \sum_{i=1}^{n}{2^i - 2^{i-1}} = {2}^{n} - 1$

2 comentarios sobre “La notación sigma. Cálculo integral.”

Angelballesteros288@gmail.com dice:

3 marzo, 2021 a las 7:14 pm

En muchos problemas matemáticos los cuales surgen varias sumas es de gran ayuda este método para poder ejercitar y facilitar al momento de realizar varias sumas por Simplificación para poder llegar al posible resultado

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Julio b dice:

18 febrero, 2025 a las 7:41 pm

Gracias por su aporte, antes de esto estaba completamanete perdido. Muchas gracias.

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