Método de bisección. Segundo método cerrado. Métodos numéricos.

Introducción

Dada una función $y=f(x)$ graficada en el plano $xy$ , se toma arbitrariamente los límites inferior y superior sobre el eje $x$ y formará un intervalo cerrado. Dentro de ese intervalo, la función deberá intersectar sobre el eje $x$ , ya que esto representa el cambio de signo (raíz) y el valor numérico de $x$ .

Imagen1 — *Figura 1. Representación gráfica de una función.*

El método de bisección consiste en calcular el parámetro $P$ tantas veces como sea posible (comparando con los valores de cada error) formando subintervalos cerrados. Cuando se considere que el último valor de $P$ sea el adecuado, automáticamente, representará el valor de $x$ donde la función presenta ese cambio de signo.

En general, para calcular la variable $P$

$\displaystyle P_n = \frac{a_n + b_n }{2}$

En cada subintervalo, para obtener $P_1$

$\displaystyle [a_1 , b_1 ] = [a, b] \rightarrow P_1 = \frac{a+b}{2}$

Para obtener $P_2$

$\displaystyle [a_2 , b_2 ] = [a_1 , P_1 ] \rightarrow P_2 = \frac{a_1 + P_1 }{2}$

Para obtener $P_3$

$\displaystyle [a_3 , b_3 ] = [P_1 , P_2 ] \rightarrow P_3 = \frac{P_1 + P_2}{2}$

La secuencia de subintervalos es la siguiente

$[a, b] \rightarrow [a, P_1 ] \rightarrow [P_1 , P_2 ] \rightarrow [ \cdots , \cdots ] \rightarrow [P_{n-1} , P_n ]$

Y para calcular el error

$E_n = |P_n - P_{n-1} |$

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar la raíz positiva de $x^3 + 4x^2 - 16 = 0$ con tolerancia de $0.02$

Solución. Se realiza una tabulación usando solo valores del dominio positivos desde $x=0$ hasta $x=2$ .

En la tabulación, la función presenta un cambio de signo entre $x =1$ y $x=2$ , por lo que el intervalo a tomar es $[1,2]$ . Luego, los valores a utilizar son $a=1$ y $b=2$ .

$[1, 2] \rightarrow a=1$ y $b=2$

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $a=1$ y $b=2$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la primera iteración, con el intervalo $[1,2]$ , calculando $P_1$

$\displaystyle P_1 = \frac{a_1 + b_1}{2} = \frac{a+b}{2}$

$\displaystyle P_1 = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$

$P_1 = 1.5$

El valor de $P_1$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

$f(P_1 ) = f(1.5) = (1.5)^3 + 4(1.5)^2 - 16$

$f(1.5) = -3.635$

Este resultado tiene un signo negativo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $a$ o $b$ será remplazado por el valor de $P_1$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_1$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo negativo, por lo que, los valores de $a$ y de $b$ (del intervalo $[1,2]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_1 )$ , y el indicado es el valor de $a=1$ (ya que muestra un resultado con signo negativo). Por lo que, del primer intervalo

$[a_1, b_1 ] = [a,b] = [1,2]$

El segundo intervalo es

$[a_2, b_2 ] = [P_1 , b] = [1.5,2]$

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $P_1 = 1.5$ y $b=2$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la segunda iteración, con el intervalo $[1.5 , 2]$ , calculando $P_2$

$\displaystyle P_2 = \frac{a_2 + b_2}{2} = \frac{P_1 + b}{2}$

$\displaystyle P_2 = \frac{1.5+2}{2} = \frac{3.5}{2}$

$P_2 = 1.75$

El valor de $P_2$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

f(P_2 ) = f(1.75) = (1.75)^3 + 4(1.75)^2 - 16

Este resultado tiene un signo positivo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $P_1$ o $b$ será remplazado por el valor de $P_2$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_2$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo positivo, por lo que, los valores de $P_1$ y de $b$ (del intervalo $[1.5, 2]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_2 )$ , y el indicado es el valor de $b=2$ (ya que muestra un resultado con signo positivo). Por lo que, del segundo intervalo

$[a_2, b_2 ] = [P_1 , b] = [1.5, 2]$

El tercer intervalo es

$[a_3 , b_3 ] = [P_1 , P_2 ] = [1.5, 1.75]$

Calculando el valor del primer error

$E_1 = |P_2 - P_1 |$

$E_1 = |1.75 - 1.5| = |0.25|$

$E_1 = 0.25$

Comparando con el valor de $E_1$ con el valor de la tolerancia

$0.25 > 0.02$

Se observa que el valor del primer error es mayor que la tolerancia, por lo que se pasa a la siguiente iteración.

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $P_1 = 1.5$ y $P_2 = 1.75$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la tercera iteración, con el intervalo $[1.5,1.75]$ , calculando $P_3$

$\displaystyle P_3 = \frac{a_3 + b_3}{2} = \frac{P_1 + P_2}{2}$

$\displaystyle P_3 = \frac{1.5+1.75}{2} = \frac{3.25}{2}$

$P_3 = 1.625$

El valor de $P_3$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

f(P_3 ) = f(1.625) = (1.625)^3 + 4(1.625)^2 - 16

Este resultado tiene un signo negativo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $P_1$ o $P_2$ será remplazado por el valor de $P_3$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_3$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo negativo, por lo que, los valores de $P_1$ y de $P_2$ (del intervalo $[1.5, 1.75]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_3 )$ , y el indicado es el valor de $P_1 = 1.5$ (ya que muestra un resultado con signo negativo). Por lo que, del tercer intervalo

$[a_3 , b_3 ] = [P_1 , P_2 ] = [1.5, 1.75]$

El cuarto intervalo es

$[a_4 , b_4 ] = [P_3 , P_2 ] = [1.625 , 1.75]$

Calculando el valor del segundo error

$E_2 = |P_3 - P_2 |$

$E_2 = |1.625-1.75|= |-0.125|$

$E_2 = 0.125$

Comparando con el valor de $E_2$ con el valor de la tolerancia

$0.125 > 0.02$

Se observa que el valor del segundo error es mayor que la tolerancia, por lo que se pasa a la siguiente iteración.

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $P_3 = 1.625$ y $P_2 = 1.75$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la cuarta iteración, con el intervalo $[1.625,1.75]$ , calculando $P_4$

$\displaystyle P_4 = \frac{a_4 + b_4}{2}$

$\displaystyle P_4 = \frac{1.625+1.75}{2} = \frac{3.375}{2}$

$P_4 = 1.688$

El valor de $P_4$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

f(P_4 ) = f(1.688) = (1.688)^3 + 4(1.688)^2 - 16

Este resultado tiene un signo positivo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $P_3$ o $P_2$ será remplazado por el valor de $P_4$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_4$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo positivo, por lo que, los valores de $P_3$ y de $P_2$ (del intervalo $[1.625, 1.75]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_4 )$ , y el indicado es el valor de $P_2 = 1.75$ (ya que muestra un resultado con signo positivo). Por lo que, del cuarto intervalo

$[a_4 , b_4 ] = [P_3 , P_2 ] = [1.625, 1.75]$

El quinto intervalo es

$[a_5 , b_5 ] = [P_3 , P_4 ] = [1.625 , 1.688]$

Calculando el valor del tercer error

$E_3 = |P_4 - P_3 |$

$E_3 = |1.688 - 1.625|= |0.063|$

$E_3 = 0.063$

Comparando con el valor de $E_3$ con el valor de la tolerancia

$0.063 > 0.02$

Se observa que el valor del tercer error es mayor que la tolerancia, por lo que se pasa a la siguiente iteración.

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $P_3 = 1.625$ y $P_4 = 1.688$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la quinta iteración, con el intervalo $[1.625,1.688]$ , calculando $P_5$

$\displaystyle P_5 = \frac{a_5 + b_5}{2} = \frac{P_3 + P_4}{2}$

$\displaystyle P_5 = \frac{1.625 + 1.688}{2} = \frac{3.313}{2}$

$P_5 = 1.657$

El valor de $P_5$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

f(P_5 ) = f(1.657) = (1.657)^3 + 4(1.657)^2 - 16

Este resultado tiene un signo negativo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $P_3$ o $P_4$ será remplazado por el valor de $P_5$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_5$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo negativo, por lo que, los valores de $P_3$ y de $P_4$ (del intervalo $[1.625, 1.688]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_5 )$ , y el indicado es el valor de $P_3 = 1.625$ (ya que muestra un resultado con signo negativo). Por lo que, del cuarto intervalo

$[a_4 , b_4 ] = [P_3 , P_4 ] = [1.625 , 1.688]$

El quinto intervalo es

$[a_5 , b_5 ] = [P_5 , P_4 ] = [1.657 , 1.688]$

Calculando el valor del cuarto error

$E_4 = |P_5 - P_4 |$

$E_4 = |1.657 - 1.688| = |0.031|$

$E_4 = 0.031$

Comparando con el valor de $E_4$ con el valor de la tolerancia

$0.031 > 0.02$

Se observa que el valor del cuarto error es mayor que la tolerancia, por lo que se pasa a la siguiente iteración.

De la función brindada por el problema, se evalúan los valores para $P_5=1.657$ y $P_4 = 1.688$ .

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

En la sexta iteración, con el intervalo $[1.657,1.688]$ , calculando $P_6$

$\displaystyle P_6 = \frac{a_6 + b_6}{2} = \frac{P_5 + P_4}{2}$

$\displaystyle P_6 = \frac{1.657+1.688}{2} = \frac{3.313}{2}$

$P_6 = 1.673$

El valor de $P_6$ será evaluado en la función $f(x)$

$f(x) = x^3 + 4x^2 - 16$

f(P_6 ) = f(1.673) = (1.673)^3 + 4(1.673)^2 - 16

Este resultado tiene un signo negativo, para obtener el siguiente intervalo, el valor de $P_5$ o $P_4$ será remplazado por el valor de $P_6$ . Para identificarlo, se observa que el valor de $P_6$ , al evaluarlo, se tiene un resultado con signo negativo, por lo que, los valores de $P_5$ y de $P_4$ (del intervalo $[1.657, 1.688]$ ) al momento de evaluarlos en la función $f(x)$ , debe de mostrarse el mismo signo con lo que se obtuvo $f(P_6 )$ , y el indicado es el valor de $P_5 = 1.657$ (ya que muestra un resultado con signo negativo). Por lo que, del sexto intervalo

$[a_5 , b_5 ] = [P_5 , P_4 ] = [1.657 , 1.688]$

El sexto intervalo es

$[a_6 , b_6 ] = [P_6 , P_4 ] = [1.657 , 1.673]$

Calculando el valor del quinto error

$E_5 = |P_6 - P_5 |$

$E_5 = |1.673 - 1.657| = |0.016|$

$E_5 = 0.016$

Comparando con el valor de $E_5$ con el valor de la tolerancia

$0.016 < 0.02$

Se observa que el valor del quinto error ya es menor que la tolerancia, por lo que, el último valor calculado (es decir, $P_6 = 1.673$ ) es el valor indicado. Finalmente

$\therefore x = 1.673$

A continuación, se muestra una tabla referente a todos los valores calculados por el método de bisección.

Método de bisección. Segundo método cerrado. Métodos numéricos.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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