Solución de un sistema de ecuaciones no lineales por el método del punto fijo. Métodos numéricos.

Introducción

Sean las funciones

De la ecuación (A), se despeja $x$ y de la ecuación (B), se despeja $y$

A partir de esto, para más iteraciones (es decir, para n=0, 1, 2, 3, …)

Los puntos lineales son $(x_0,y_0 )$ .

Criterio de convergencia

Sean $F_x$ y $F_y$ las derivadas parciales de $F(x,y)$ , entonces, el criterio de convergencia consiste de la siguiente manera

$|F_x |+|F_y | < 1$

$\displaystyle |\frac{\partial F}{\partial x} |+|\frac{\partial F}{\partial y}| < 1$

Y para la función $G(x,y)$ , también puede utilizarse el criterio de convergencia

$|G_x |+|G_y | < 1$

$\displaystyle \left|\frac{\partial G}{\partial x} \right|+ \left|\frac{\partial G}{\partial y} \right| < 1$

Esto se refiere que, si las derivadas parciales de $F(x,y)$ y $G(x,y)$ cumplen con la condición del criterio de convergencia, el sistema de ecuaciones no lineales tiene solución única, además de que las ecuaciones (A) y B) son las adecuadas.

Para calcular el error, su fórmula es la siguiente

$E_{n+1} = \max{\left||x_{n+1} - x_n |,|y_{n+1}-y_n |\right|}$

Problema resuelto

Problema 1. Hallar los valores de $x$ y $y$ del siguiente sistema de ecuaciones no lineales

Con un punto lineal $(x_0,y_0 )=(3,1)$ y con una tolerancia de 0.10.

Solución. Se asignan las ecuaciones como A y B

Se observa que la ecuación A tiene mayor facilidad para despejar la variable $x$ . Así que, se despejará un término $x$ (que se ubicará en el primer miembro) y lo restante se ubicará en el segundo miembro

$x^2+y^2+8-10x=0$

$\displaystyle x = \frac{-x^2-y^2-8}{-10} = \frac{x^2+y^2+8}{10}$

En el caso de la ecuación B, tiene mayor facilidad para despejar la variable $y$ . Por lo que, se despejará un término $y$ (que se ubicará en el primer miembro) y lo restante se ubicará en el segundo miembro

$xy^2+x+8-10y=0$

$\displaystyle y = \frac{-xy^2-x-8}{-10} = \frac{xy^2+x+8}{10}$

De la primera ecuación, se asigna $F(x,y)$

$\displaystyle x = \frac{x^2+y^2+8}{10}$

$\displaystyle F(x,y) = \frac{x^2+y^2+8}{10}$

Y se deriva la función $F(x,y)$ parcialmente con respecto a $x$ y con respecto a $y$

De los resultados de las derivadas parciales, se evalúa con el punto lineal $(x_0, y_0 )=(3,1)$

Y utilizando la fórmula de el criterio de convergencia

$|F_x |+|F_y |<1$

$0.6+0.2<1$

$0.8<1$

De la segunda ecuación, se asigna $G(x,y)$ .

$\displaystyle y = \frac{xy^2+x+8}{10}$

$\displaystyle G(x,y) = \frac{xy^2+x+8}{10}$

Y se deriva la función $G(x,y)$ parcialmente con respecto a $x$ y con respecto a $y$

De los resultados de las derivadas parciales, se evalúa con el punto lineal $(x_0, y_0 )=(3,1)$

\displaystyle G_x (x,y) = \frac{y^2+1}{10}

Y utilizando la fórmula de el criterio de convergencia

$|G_x |+|G_y |<1$

$0.2+0.6<1$

$0.8<1$

Se observa que ambos criterios de convergencia cumplen con la condición, esto quiere decir que los despejes son adecuados y que existe hay solución del sistema de ecuaciones no lineales.

En la primera iteración, se toma la ecuación (A) (donde ya se despejó la variable $x$ ) y se evalúa con el punto lineal $(x_0,y_0 )=(3,1)$ .

$\displaystyle x = F(x,y) = \frac{x^2+y^2+8}{10}$

$x_1 = F(x_0, y_0 ) = F(3,1)$

$\displaystyle x_1 = \frac{(3)^2+(1)^2+8}{10} = \frac{18}{10}$

$x_1 = 1.8$

Del punto $(3,1)$ , el valor de $x_1$ remplazará a $x_0$ , así, el siguiente punto a utilizar será $(1.8, 1)$ . De la ecuación (B) (donde ya se despejó la variable $y$ ), se evalúa con el punto $(1.8, 1)$

$\displaystyle y = G(x,y) = \frac{xy^2+x+8}{10}$

$y_1=G(x_1,y_0 )=G(1.8,1)$

$\displaystyle y_1 = \frac{(1.8) {(1)}^2+1.8+8}{10} = \frac{11.6}{10}$

$y_1 = 1.16$

Entonces, el segundo punto lineal es: $(x_1,y_1 )=(1.8, 1.16)$

Calculando el primer error máximo

$E_1 = \max{\left| |x_1-x_0 |,|y_1-y_0 | \right|}$

$E_1 = \max{\left| |1.8-3|,|1.16-1| \right|}$

$E_1 = \max{\left| |-1.2|, |0.16| \right|}$

$E_1 = \max{|1.2, 0.16|}$

Tomando el valor máximo de $E_1$

$E_1 = 1.2$

Comparando el valor del primer error con el valor de la tolerancia

$E_1 > \text{Tolerancia}$

$1.2 > 0.10$

Como el valor de este error es mayor que la tolerancia, se pasa a la siguiente iteración.

En la segunda iteración, tomando el punto $(x_1,y_1 ) = (1.8, 1.16)$

$x_2 = F(x_1, y_1 ) = F(1.8, 1.16)$

$\displaystyle x_2 = \frac{{(1.8)}^{2}+{(1.16)}^{2}+8}{10}$

$x_2=1.259$

Del punto $(1.8, 1.16)$ , el valor de $x_2$ remplazará a $x_1$ , así, el siguiente punto a utilizar será $(1.259, 1.16)$ . De la ecuación (B) (donde ya se despejó la variable $y$ ), se evalúa con el punto $(1.259, 1.16)$

$y_2 = G(x_2,y_1 ) = G(1.259, 1.16)$

$\displaystyle y_2 = \frac{(1.259) {(1.16)}^{2}+1.259+8}{10}$

$y_2 = 1.095$

Entonces, el tercer punto lineal es: $(x_2,y_2 ) = (1.259, 1.095)$ .

Calculando el segundo error máximo

$E_2 = \max{\left| |x_2-x_1 |,|y_2-y_1 | \right|}$

$E_2 = \max{\left| |1.259-1.8|,|1.095-1.16| \right|}$

$E_2 = \max{\left| |-0.541|, |-0.065| \right|}$

$E_2 = \max{|0.541, 0.065|}$

Tomando el valor máximo de $E_2$ .

$E_2 = 0.541$

Comparando el valor del segundo error con el valor de la tolerancia

$E_2 > \text{Tolerancia}$

$0.541 > 0.10$

Como el valor de este error es mayor que la tolerancia, se pasa a la siguiente iteración.

En la tercera iteración, tomando el punto $(x_2,y_2 ) = (1.259 1.095)$ .

$x_3 = F(x_2, y_2 ) = F(1.259, 1.095)$

$\displaystyle x_3 = \frac{{(1.259)}^{2}+{(1.095)}^{2}+8}{10}$

$x_3=1.078$

Del punto $(1.259, 1.095)$ , el valor de $x_3$ remplazará a $x_2$ , así, el siguiente punto a utilizar será $(1.078, 1.095)$ . De la ecuación (B) (donde ya se despejó la variable $y$ ), se evalúa con el punto $(1.078, 1.095)$ .

$y_3 = G(x_3,y_2 ) = G(1.078, 1.095)$

$\displaystyle y_3 = \frac{(1.078) {(1.095)}^{2}+1.078+8}{10}$

$y_3 = 1.037$

Entonces, el cuarto punto lineal es: $(x_3,y_3 ) = (1.078, 1.037)$ .

Calculando el tercer error máximo

$E_3 = \max{\left| |x_3-x_2 |,|y_3-y_2 | \right|}$

$E_3 = \max{\left| |1.078-1.259|,|1.037-1.095| \right|}$

$E_3 = \max{\left| |-0.181|, |-0.058| \right|}$

$E_3 = \max{|0.181, 0.058|}$

Tomando el valor máximo de $E_3$

$E_3 = 0.181$

Comparando el valor del tercer error con el valor de la tolerancia

$E_3 > \text{Tolerancia}$

$0.181>0.10$

Como el valor de este error es mayor que la tolerancia, se pasa a la siguiente iteración.

En la cuarta iteración, tomando el punto $(x_3,y_3 ) = (1.078, 1.037)$ .

$x_4 = F(x_3, y_3 ) = F(1.078, 1.037)$

$\displaystyle x_4 = \frac{{(1.078)}^{2}+{(1.037)}^{2}+8}{10}$

$x_4=1.024$

Del punto $(1.078, 1.037)$ , el valor de $x_4$ remplazará a $x_3$ , así, el siguiente punto a utilizar será $(1.024, 1.037)$ . De la ecuación (B) (donde ya se despejó la variable $y$ ), se evalúa con el punto $(1.024, 1.037)$

$y_4 = G(x_4,y_3 ) = G(1.024, 1.037)$

$\displaystyle y_4 = \frac{(1.024) {(1.037)}^{2}+1.024+8}{10}$

$y_4 = 1.013$

Entonces, el quinto punto lineal es: $(x_3,y_3 ) = (1.024, 1.013)$ .

Calculando el cuarto error máximo

$E_4 = \max{\left| |x_4-x_3 |,|y_4-y_3 | \right|}$

$E_4 = \max{\left| |1.024-1.078|,|1.013-1.037| \right|}$

$E_4 = \max{\left| |-0.054|, |-0.024| \right|}$

$E_4 = \max{|0.054, 0.024|}$

Tomando el valor máximo de $E_4$

$E_4 = 0.054$

Comparando el valor del cuarto error con el valor de la tolerancia

$E_4 < \text{Tolerancia}$

$0.054<0.10$

Como el valor de este error ya es menor que la tolerancia, el último punto lineal calculado es el resultado final esperado. Finalmente

$\therefore x=1.024 \quad , \quad y=1.013$

$f(x,y)=0$	(A)
$g(x,y)=0$	(B)

$x^2+y^2+8-10x=0$	(A)
$xy^2+x+8-10y = 0$	(B)

$\displaystyle F_x (x,y) = \frac{x}{5}$	$\displaystyle F_y (x,y) = \frac{y}{5}$
$\displaystyle F_x (3,1) = \frac{3}{5} = 0.6$	$\displaystyle F_y (3,1) = \frac{1}{5} = 0.2$

$\displaystyle G_x (x,y) = \frac{y^2+1}{10}$	$\displaystyle G_y (x,y) = \frac{xy}{5}$
$\displaystyle G_x (3,1) = \frac{1}{5} = 0.2$	$\displaystyle G_y (3,1) = \frac{3}{5} = 0.6$

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