La transformada z. Control digital.

Introducción

El método de la transformada $z$ es un método operacional cuando se trabaja con sistemas en tiempo discreto.

Al considerar la transformada $z$ de una función del tiempo $x(t)$ , sólo se toman en cuenta los valores muestreados de $x(t)$ , esto es, $x(0)$ , $x(T)$ , $x(2T)$ , … , donde $T$ es el período de muestreo.

La transformada $z$ de una función del tiempo $x(t)$ donde $t$ es positivo, o de la secuencia de valores $x(kT)$ , donde $k$ adopta valores de cero o de enteros positivos y $T$ es el periodo de muestreo, se define mediante la siguiente ecuación

$\displaystyle X[z] = Z[x(t)] = Z[x(kT)] = \sum_{k=0}^{\infty}{x(kT) z^{-k}}$

Para una secuencia de números $x(k)$ , la transformada $z$ se define como

$\displaystyle X(z) = Z[x(k)] = \sum_{k=0}^{\infty}{x(k) z^{-k}}$

La transformada $z$ definida mediante las dos primeras ecuaciones se conoce como transformada $z$ unilateral.

El símbolo $\mathcal{Z}$ denota la “transformada $z$ de”. En la transformada $z$ unilateral se supone que $x(t)=0$ para $t<0$ o $x(k)=0$ para $k<0$ . Observe que $z$ es una variable compleja.

Observe que, cuando se trata con una secuencia de tiempo $x(kT)$ que se obtuvo mediante el muestreo de una señal $x(t)$ , la transformada $z$ $X(z)$ involucra de manera explícita a $T$ . Sin embargo, para una secuencia de tiempo $x(k)$ , la transformada $z$ $X(z)$ no lo incluye a $T$ explícitamente.

La transformada $z$ de $x(t)$ , donde $-\infty < t < \infty$ , o de $x(k)$ , donde $k$ adopta valores enteros ( $k = 0 , \pm 1, \pm 2$ , … ), se define mediante

$\displaystyle X(z) = \mathcal{Z}[x(t)] = \mathcal{Z}[x(kT)] = \sum_{k=- \infty}^{\infty}{x(kT) z^{-k}}$

O también

$\displaystyle X(z) = Z[x(k)] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{x(k) z^{-k} }$

La transformada $z$ definida mediante estas ecuaciones se denomina transformada $z$ bilateral. En la transformada $z$ bilateral, se supone que la función $x(t)$ es distinta de cero para $t<0$ y se considera que la secuencia $x(k)$ tiene valores distintos de cero para $k<0$ . Ambas transformadas $z$ , la unilateral y la bilateral, son series de potencias de $z^{-1}$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Obtener la transformada z para $f(a)$ si $a^{k-1}$ , $k=1,2,3,$ … y $latex 0$, $k \le 0$ .

Solución. Por medio de la función

$f(a) = a^{k-1}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [f(a)] = \mathcal{Z} [a^{k-1} ]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1} ] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-k} \left(\frac{z}{z} \right)}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-k} z^1 z^{-1}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-k+1} z^{-1}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-(k-1)} z^{-1}} = z^{-1} \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-(k-1)}}$

Remplazando $m = k - 1$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{k=0}^{\infty}{a^{k-1} z^{-(k-1)} z^{-1}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \sum_{m=-1}^{\infty}{a^m z^{-m} z^{-1}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = z^{-1} \sum_{m=-1}^{\infty}{a^m z^{-m}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = z^{-1} (a^{-1} z^1 + a^0 z^0 + a^1 z^{-1}+a^2 z^{-2}+a^3 z^{-3}+ \cdots)$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = z^{-1} (0+1+a^1 z^{-1}+a^2 z^{-2}+a^3 z^{-3}+ \cdots )$

$\displaystyle \mathcal{Z} [a^{k-1}] = z^{-1} \left(\frac{1}{1-a^1 z^{-1}} \right) = \frac{z^{-1}}{1-az^{-1}}$

El resultado final es

$\displaystyle \therefore \mathcal{Z} [a^{k-1}] = \frac{z^{-1}}{1-az^{-1}}$

Problema 2. Considerar la función $y(k)$ , la suma de funciones $x(h)$ donde $h=0, 1, 2, ... ,k$ , tal que:

$\displaystyle y(k) = \sum_{h=0}^{k}{[x(h)]}$ , $k=0, 1, 2, ...$

Donde $\displaystyle y(k) = 0$ para $k<0$ . Obtenga la transformada z de $y(k)$ .

Solución. Comenzando de la expresión brindada por el problema

$\displaystyle y(k) = \sum_{h=0}^{k}{x(h)}$

$y(k)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+ \cdots +x(k-1)+x(k)$

Se remplaza $k$ por $k-1$

$y(k-1) = x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+ \cdots +x(k-1)$

Realizando una resta algebraica

$\displaystyle \begin{matrix} y(k) \quad & = & x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+\cdots+x(k-1)+x(k) \\ - [y(k-1)] & = & -[x(0)+x(1)+x(2)+x(3)+\cdots+x(k-1)] \quad \quad \quad \\ \cline{1-1} \cline{2-2} \cline{3-3} \\ y(k)-y(k-1) & = & x(k) \end{matrix}$

donde $k=0, 1, 2, ...$

Aplicando la transformada $z$ en ambos miembros y despejando $y$

$y(k)-y(k-1)=x(k)$

$\mathcal{Z} [y(k)-y(k-1)]=Z[x(k)]$

$\mathcal{Z} [y(k)]- \mathcal{Z} [y(k-1)] = \mathcal{Z} [x(k)]$

$Y(z)-z^{-1} Y(z)=X(z)$

$Y(z)(1-z^{-1} )=X(z)$

$\displaystyle \therefore Y(z) = \frac{X(z)}{1-z^{-1}}$

Problema 3. Obtener la transformada $z$ de $te^{-at}$ .

Solución. Aplicando la transformada $z$ en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{Z} [te^{-at}] = \mathcal{Z} [kTe^{-akT}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [te^{-at}] = \sum_{k=0}^{\infty}{kTe^{-akT} z^{-k}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [te^{-at}] = \sum_{k=0}^{\infty}{kT{(e^{aT} z)}^{-k}}$

Recordando que

$\displaystyle \mathcal{Z} [t] = \frac{Tz^{-1}}{{(1-z^{-1} )}^{2}}$

Cambiando $t$ por $t e^{-at}$ en el primer miembro y $z$ por $e^{aT} z$ en el segundo, se muestra que

$\displaystyle \mathcal{Z} [te^{-at}] = \frac{T{(e^{aT} z)}^{-1}}{{[1-{(e^{aT} z)}^{-1} ]}^{2}}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [te^{-at}] = \frac{Te^{-aT} z^{-1}}{{(1-e^{-aT} z^{-1})}^{2}}$

Problema 4. Determinar el valor inicial $x(0)$ si

$\displaystyle X(z) = \frac{(1-e^{-T}) z^{-1}}{(1-z^{-1})(1 - e^{-T} z^{-1})}$

Solución. Aplicando el teorema del valor inicial

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow 0}{x(k)} = \lim_{z \rightarrow \infty}{X(z)}$

$\displaystyle x(0) = \lim_{z \rightarrow \infty}{ \frac{(1-e^{-T}) z^{-1}}{(1-z^{-1})(1 - e^{-T} z^{-1})}}$

$\displaystyle x(0) = \lim_{z \rightarrow \infty}{\frac{(1-e^{-T} ) (\frac{1}{z})}{(1 - \frac{1}{z})(1 - \frac{e^{-T}}{z})}}$

$\displaystyle x(0) = \frac{(1-e^{-T} ) \frac{1}{\infty}}{(1 - \frac{1}{\infty})(1 - \frac{e^{-T}}{\infty})} = \frac{(1-e^{-T} )(0)}{(1 - 0)(1 - 0)} = \frac{0}{(1)(1)} = \frac{0}{1}$

$\therefore x(0) = 0$

Problema 5. Determinar el valor final $x(\infty)$ de

$\displaystyle X(z) = \frac{1}{(1-z^{-1}) } - \frac{1}{(1-e^{-aT} z^{-1} )}$

Solución. Por medio del teorema del valor final, se tiene que

$\displaystyle \lim_{k \rightarrow \infty}{x(k)} = \lim_{z \rightarrow 1}{\left\{(1-z^{-1} )\left[\frac{1}{(1-z^{-1})} - \frac{1}{(1-e^{-aT} z^{-1}) }\right]\right\}}$

$\displaystyle x(\infty) = \lim_{z \rightarrow 1}{\left\{(1-z^{-1})\left[\frac{1-e^{-aT} z^{-1} - 1 +z^{-1}}{(1-z^{-1})(1 - e^{-aT} z^{-1})} \right] \right\}}$

$\displaystyle x(\infty) = \lim_{z \rightarrow 1}{ \left( \frac{-e^{-aT} z^{-1}+z^{-1}}{1-e^{-aT} z^{-1}}\right)} = \frac{-e^{-aT}+1}{1-e^{-aT}} = \frac{1-e^{-aT}}{1-e^{-aT}}$

$\therefore x(\infty) = 1$

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Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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