Introducción a la transformada z inversa. Control digital.

La notación para la transformada z inversa es ${\mathcal{Z}}^{-1}$ . La transformada $z$ inversa de $X(z)$ da como resultado la correspondiente secuencia de tiempo $x(k)$ .

Se observa que la transformada $z$ inversa sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. De esta manera, la transformada $z$ inversa de $X(z)$ da como resultado una única $x(k)$ , pero no da única $x(t)$ , y también, una secuencia de tiempo que especifica los valores de $x(t)$ solamente en los valores discretos de tiempo, $t = 0, T, 2T, ...$ , y no dice nada acerca de los valores de $x(t)$ en todos los otros tiempos.

Cuando $X(z)$ , la transformada $z$ de $x(kT)$ o $x(k)$ , está dada, la operación que determina la $x(kT)$ o $x(k)$ correspondiente se denomina transformación $z$ inversa.

Existen cuatro métodos para obtener la transformada z inversa

Método de la división directa.
Método MATLAB.
Método de expansión en fracciones parciales.
Método de la integral de inversión.

Método de la división directa. El método de la división directa se obtiene mediante la expansión de $X(z)$ en una serie infinita de potencias de $z^{-1}$ . Este método es útil cuando sea difícil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada $z$ inversa o desea encontrar sólo algunos de los primeros términos de $x(k)$ .

Método de MATLAB. A partir de la nueva ecuación, la entrada $X(z)$ es la transformada $z$ de la entrada “delta de Kronecker”. En MATLAB la entrada “delta de Kronecker” está dada por:

x = [1 zeros(1,N)]

Donde $N$ corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.

Puesto que la transformada $z$ de la entrada “delta de Kronecker” $X(z)$ es igual a la unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es:

$\displaystyle Y(z) = G(z) = \frac{0.4673z^{-1}-0.3393z^{-2}}{1-1.5327z^{-1}+0.6607z^{-2}} = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607}$

Por lo tanto, la transformada $z$ inversa de $G(z)$ está dada por $y(0)$ , $y(1)$ , $y(2)$ , … . Se obtendrá $y(k)$ hasta $k=40$ .

Método de expansión en fracciones parciales. Este método consiste en transformar de una fracción racional en una expresión mixta, es decir, una parte es polinomio y una parte es fracción propia

$\displaystyle \begin{matrix} \text{Fraccion impropia} \\ \text{o racional} \end{matrix} \ \left\{\frac{z^5-5z^3+7z^2-5}{z^3-8} \right. = \underbrace{\overbrace{z^2 - 5}^{\text{Polinomio}} + \overbrace{\frac{15z^2 - 45}{z^3-8}}^{\text{Fraccion propia}}}_{\text{Expresion mixta}}$

Posteriormente, se determina la transformada $z$ inversa utilizando los teoremas y fórmulas correspondientes.

Método de la integral de inversión compleja. La integral de inversión de la transformada z X(z) está dada por

$\displaystyle Z^{-1} [X(z)] = x(kT) = x(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{\mathcal{C}}{X(z) z^{k-1} dz}$

Donde $C$ es un círculo con centro en el origen del plano $z$ tal que todos los puntos de $X(z) z^{k-1}$ están dentro de él.

La ecuación que da la transformada $z$ inversa en términos de los residuos se puede obtener si se utiliza la teoría de la variable compleja. Esta se puede obtener como sigue

$\displaystyle x(kT) = x(k) = K_1 + K_2 + K_3 + \cdots + K_m = \sum_{i=1}^{m}{K_n}$

Donde $K_1$ , $K_2$ , … , $K_m$ son los coeficientes o residuos de $X(z) z^{k-1}$ en los polos $z_1$ , $z_2$ , … , $z_m$ respectivamente.

Al evaluar los residuos o coeficientes, se observa que si el denominador de $X(z) z^{k-1}$ contiene un polo simple en $z=a$ entonces el residuo $K_m$ correspondiente está dado por

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{\left[ (z-a) \cdot X(z) \cdot z^{k-1} \right]}$

Si $X(z) z^{k-1}$ contiene un polo múltiple $a$ de orden $n$ , entonces el residuo $K_m$ está dado por

$\displaystyle K_m = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \rightarrow a}{\left\{\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ {(z-a)}^n \cdot X(z) \cdot z^{k-1} \right]\right\}}$

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Publicado por Cesar Reyes

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