Enfoque MATLAB y enfoque en ecuaciones en diferencias para obtener la transformada z inversa. Control digital.

Introducción

Al considerar un sistema $G(z)$ definido mediante

$\displaystyle G(z) = \frac{0.4673z^{-1}-0.3393z^{-2}}{1-1.5327z^{-1}+0.6607z^{-2}}$

Para encontrar la transformada $z$ inversa, se utiliza la función “delta de Kronecker” $\delta_0 (kT)$ , donde: $\delta_0 (kT)= 1$ , para $k=0$ y $0$ , para $k\ne 0$

Suponiendo que $x(k)$ , la entrada al sistema G(z), es la entrada “delta de Kronecker”, o: $\delta_0 (kT) =$ , $1$ , para $k=0$ , $0$ , para $k \ne 0$

La transformada $z$ de la entrada “delta de Kronecker” es:

$x(k) = \delta_0$

$\mathcal{Z} [x(k)] = \mathcal{Z} [\delta_0 (kT)]$

$X(z) = 1$

Mediante la entrada “delta de Kronecker”, la primera ecuación se puede reescribir como:

$\displaystyle G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.4673z^{-1}-0.3393z^{-2}}{1-1.5327z^{-1}+0.6607z^{-2}} \cdot \frac{z^2}{z^2} = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607}$

Enfoque MATLAB

A partir de la nueva ecuación, la entrada $X(z)$ es la transformada $z$ de la entrada “delta de Kronecker”. En MATLAB la entrada “delta de Kronecker” está dada por:

x = [1 zeros(1,N)]

Donde $N$ corresponde al final de la duración del tiempo discreto del proceso considerado.

Puesto que la transformada $z$ de la entrada “delta de Kronecker” $X(z)$ es igual a la unidad, la respuesta del sistema a esta entrada es:

$\displaystyle Y(z) = G(z) = \frac{0.4673z^(-1)-0.3393z^(-2)}{1-1.5327z^(-1)+0.6607z^(-2)} = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607}$

Por lo tanto, la transformada $z$ inversa de $G(z)$ está dada por $y(0)$ , $y(1)$ , $y(2)$ , … . Se obtendrá $y(k)$ hasta $k=40$ .

Para obtener la transformada $z$ inversa de $G(z)$ con MATLAB, se escrie el siguiente código

num=[0   0.4673   -0.3393];  %numerador
den=[1   -1.5327   0.6607];  %denominador
x=[1   zeros(1, 40)];  %Entrada “delta de Kronecker”
y=filter(num,den,x)  %Comando para obtener la respuesta y(k) desde k=0 hasta k=40.

Para graficar la respuesta a la entrada “delta de Kronecker”

num=[0   0.4673   -0.3393]; %numerador
den=[1   -1.5327   0.6607]; %denominador
x=[1   zeros(1, 40)]; %Entrada “delta de Kronecker”
v=[0   40   -1   1];
axis(v);
k=0:40;
y=filter(num,den,x) %Comando para obtener la respuesta y(k) desde k=0 hasta k=40.
plot(k,y,’o’) ó plot (k,y,’-‘);
grid on
title(‘Respuesta a la entrada “delta de Kronecker”’);
xlabel(´k’);

Enfoque en ecuación en diferencias

De la última ecuación obtenida, se puede escribir como:

$\displaystyle G(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}$

$\displaystyle Y(z) = G(z)X(z)$

$\displaystyle Y(z) = \left[\frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607} \right] X(z)$

Entonces:

$\displaystyle Y(z) = \frac{0.4673z-0.3393}{z^2-1.5327z+0.6607} \cdot X(z)$

$\displaystyle (z^2-1.5327z+0.6607) \cdot Y(z) = (0.4673z-0.3393) \cdot X(z)$

$z^2 Y(z)-1.5327zY(z)+0.6607Y(z) = 0.4673zX(z)-0.3393X(z)$

$z^2 Y(z)-1.5327zY(z)+0.6607Y(z)=0.4673zX(z)-0.3393X(z)$

Aplicando transformada $z$ inversa

$Z^{-1} [z^2 Y(z)]-1.5327 \cdot Z^{-1} [zY(z)]+0.6607 \cdot Z^{-1} [Y(z)] = 0.4673 \cdot Z^{-1} [zX(z)] - 0.3393 \cdot Z^{-1} [X(z)]$

$y(k+2)-1.5327y(k+1)+0.6607y(k)=0.4673x(k+1)-0.3393x(k)$

Donde $x(0) = 1$ y $x(k) = 0$ para $k \ne 0$ , y $y(k)=0$ para $k<0$ . $x(k)$ es la entrada “delta de Kronecker”. Para hallar los datos iniciales $y(0)$ y $y(1)$ se puede determinar de la siguiente manera: para $k= - 2$