Método de la integral de inversión para obtener la transformada z inversa. Control digital.

Introducción

La integral de inversión de la transformada $z$ $X(z)$ está dada por

$\displaystyle Z^{-1} [X(z)] = x(kT) = x(k) = \frac{1}{j2\pi} \oint_{\mathcal{C}}{X(z) z^{k-1} dz}$

Donde $C$ es un círculo con centro en el origen del plano $z$ tal que todos los puntos de $X(z) z^{k-1}$ están dentro de él.

La ecuación que da la transformada $z$ inversa en términos de los residuos se puede obtener si se utiliza la teoría de la variable compleja. Esta se puede obtener como sigue:

$\displaystyle x(kT) = x(k) = K_1 + K_2 + K_3 + \cdots + K_m = \sum_{i=1}^{m}{K_n}$

Donde $K_1$ , $K_2$ , … , $K_m$ son los coeficientes o residuos de $X(z) z^{k-1}$ en los polos $z_1$ , $z_2$ , … , $z_m$ respectivamente.

Al evaluar los residuos o coeficientes, se observa que si el denominador de $X(z) z^{k-1}$ contiene un polo simple en $z=a$ entonces el residuo $K_m$ correspondiente está dado por:

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{\left[ (z-a) \cdot X(z) \cdot z^{k-1} \right]}$

Si $X(z) z^{k-1}$ contiene un polo múltiple $a$ de orden $n$ , entonces el residuo $K_m$ está dado por:

$\displaystyle K_m = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \rightarrow a}{\left\{\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[ {(z-a)}^n \cdot X(z) \cdot z^{k-1} \right]\right\}}$

Problema resuelto.

Problema 1. Obtener $x(kT)$ cuando $X(z)$ está dada por

$\displaystyle X(z) = \frac{z(1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})}$

Solución. Utilizando el método de la integral de inversión

$\displaystyle \mathcal{Z}^{-1} [X(z)] = \frac{1}{j 2\pi} \oint_{C}{X(z) \cdot z^{k-1} dz}$

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2 \pi} \oint_{C}{\frac{z(1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})} z^{k-1} dz}$

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j 2\pi} \oint_{C}{\frac{z^k (1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})} dz} = K_1 + K_2$

Igualando a cero el denominador del ntegrando,

$(z-1)(z-e^{-aT}) = 0$

sus soluciones son $z=1$ y $z = e^{-aT}$ .

Para $z=1$ (que es un polo simple)

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{[(z-a) \cdot X(z) \cdot z^{k-1}]}$

$\displaystyle K_1 = \lim_{z \rightarrow 1}{\left[ (z-1) \cdot \frac{z^k (1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})} \right] }$

$\displaystyle K_1 = \lim_{z \rightarrow 1}{\left[ \frac{z^k (1-e^{-aT})}{z-e^{-aT}} \right]}$

$\displaystyle K_1 = \frac{ (1^k) \cdot (1-e^{-aT})}{1-e^{-aT}}$

$\displaystyle K_1 = 1^k = 1$

Para $z=e^{-aT}$ (que es un polo simple)

$\displaystyle K_m = \lim_{z \rightarrow a}{\left[ (z-a) \cdot X(z) \cdot z^{k-1} \right]}$

$\displaystyle K_2 = \lim_{z \rightarrow e^{-aT}}{\left[ (z-e^{-aT} ) \cdot \frac{z^k \cdot (1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})} \right]}$

$\displaystyle K_2 = \lim_{z \rightarrow e^{-aT}}{\left[ \frac{z^k (1-e^{-aT})}{(z-1)} \right]}$

$\displaystyle K_2 = \frac{{(e^{-aT})}^{k} (1-e^{-aT})}{(e^{-aT}-1)}$

$\displaystyle K_2 = \frac{{(e^{aT})}^k (1-e^{-aT})}{-(1 - e^{-aT})}$

$\displaystyle K_2 = -e^{-akT}$

Regresando

$\displaystyle x(k) = \frac{1}{j2 \pi} \oint_{C}{\frac{z^k (1-e^{-aT})}{(z-1)(z-e^{-aT})} dz}$

$\displaystyle x(k) = K_1 + K_2 = 1 - e^{-akT}$

Finalmente

$\therefore x(k) = 1 - e^{-akT}$

Donde $k = 0 , 1 , 2 , \cdots$ .

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Problema resuelto.

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