Introducción

Caso 2. Solución de integrales de la forma \displaystyle \int {\sin^m{u} \ du}, \displaystyle \int{\cos^n{u} \ du} o \displaystyle \int{\sin^m{u} \cos^n{u} \ du}, donde los valores de m y n deben ser, ambos, números pares, enteros y positivos.

Para este caso, la expresión diferencial trigonométrica dada puede transformarse, por sustitución trigonométricas, en una integral inmediata que contiene los senos y cosenos de ángulos múltiplos.

Fórmulas trigonométricas por aplicar

\displaystyle \sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}\displaystyle \sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos{2x}
\displaystyle \frac{\sin{2x}}{2} = \frac{1}{2} \sin{2x} = \sin{x} \cos{x}\displaystyle \cos^2{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{2x}

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar \displaystyle \int{ \sin^2{ax} \ dx}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\sin{u} \, du}, donde m=2, es decir, cumple con la condición del caso 2. Para comenzar a resolver esta integral, primero se debe utilizar la fórmula trigonométrica \displaystyle \sin^2{ax} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2ax}.

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \, dx} = \int{ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2ax} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \, dx} = \frac{1}{2} \int{dx} - \frac{1}{2} \int{\cos{2ax} \, dx}

En la primera integral, es similar a

\displaystyle \int{dv} = v + C

Entonces, su resultado es

\displaystyle \int{dx} = x + C

Mientras que en la segunda integral,

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

donde v está representando a 2ax. Sea \displaystyle v=2ax y su diferencial es \displaystyle dv=2a dx o \displaystyle dx = \frac{1}{2a} dv

Aplicando el método de sustitución

\displaystyle \int{\cos{2ax} \, dx} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{2a} \ dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{2ax} \, dx} = \frac{1}{2a} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{2a} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{2ax} \, dx} = \frac{1}{2a} \sin{2ax} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos anteriormente

\displaystyle \int{\sin^{2}{ax} \, dx} = \frac{1}{2} \int{dx} - \frac{1}{2} \int{\cos{2ax} \ dx}

\displaystyle \int{\sin^{2}{ax} \, dx} = \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2a} \sin{2ax} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin^2{ax} \, dx} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4a} \sin{2ax} + C

Problema 2. Hallar \displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} \, dx}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{cos^n{u} \, du}, donde n=4, es decir, está cumpliendo con la condición del caso 2. Factorizando el integrando

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \int{\left(\cos^{2}{\frac{x}{2}} \right)^2 dx}

Tomando la formula siguiente \displaystyle \cos^{2}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{x}, resulta

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{x} \right)^2 \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \int{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos{x} + \frac{1}{4} \cos^2{x} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \frac{1}{4} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{4} \int{\cos^2{x} \ dx}

Aplicando la fórmula \displaystyle \cos^2{x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{2x} en la tercera integral se tiene que

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \frac{1}{4} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{4} \int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{2x} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \frac{1}{4} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{8} \int{dx} + \frac{1}{8} \int{\cos{2x} \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} \right) \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{8} \int{\cos{2x} \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} dx} = \frac{3}{8} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{8} \int{\cos{2x} \, dx}

En la primera integral, es similar a

\displaystyle \int{dv} = v + C

Entonces, su resultado es

\displaystyle \int{dx} = x + C

En la segunda integral, es similar a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

Por tanto, su resultado es

\displaystyle \int{\cos{x} \, dx} = \sin{x} + C

En la tercera integral, es similar a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

Donde v está representando a 2x, es decir, v=2x; su diferencial es \displaystyle dv=2 \ dx o \displaystyle dx = \frac{1}{2} dv. Así que, su resultado es

\displaystyle \int{\cos{2x} \ dx} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{2} \, dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{2x} \ dx} = \frac{1}{2} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{2} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{2x} \ dx} = \frac{1}{2} \sin{2x} + C

Regresando y sustituyendo los resultados esperados

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} \, dx} = \frac{3}{8} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{x} \, dx} + \frac{1}{8} \int{\cos{2x} \, dx}

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} \, dx} = \frac{3}{8} x + \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{1}{8} \left(\frac{1}{2} \sin{2x} \right) + C

\displaystyle \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} \, dx} = \frac{3}{8} x + \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{1}{16} \sin{2x} + C

Finalmente

 \displaystyle \therefore \int{\cos^{4}{\frac{x}{2}} \, dx} = \frac{3}{8} x + \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{1}{16} \sin{2x} + C

Problema 3. Hallar \displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\sin^{m}{u} \, du}, donde \displaystyle m=6, es decir, cumple con la condición del caso 2. Factorizando el integrando, se tiene

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \int{(\sin^2{z})^3 \, dz}

Tomando la formula equivalente \displaystyle \sin^2{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2z}, resulta

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \int{ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2z} \right)^3 \, dz}

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \int{ \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{8} \cos{2z} + \frac{3}{8} \cos^2{2z} - \frac{1}{8} \cos^3{2z} \right) \ dz}

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \frac{1}{8} \int{dz} - \frac{3}{8} \int{\cos{2z} \, dz} + \frac{3}{8} \int{\cos^2{2z} \, dz} - \frac{1}{8} \int{\cos^3{2z} \, dz}

La primera integral es similar a

\displaystyle \int{dv} = v+C

Así que su resultado es

\displaystyle \int{dz} = z+C

La segunda integral es similar a

\displaystyle \int{\cos{v} \ dv} = \sin{v} + C

donde v está representando 2z, es decir, sea v=2z; su diferencial es dv= 2 \ dz o \displaystyle \frac{1}{2} dv = dz. Resolviendo está integral

\displaystyle \int{\cos{2z} \ dz} = \int{\cos{v} \left( \frac{1}{2} \ dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{2z} \ dz} = \frac{1}{2} \int{\cos{v} \ dv} = \frac{1}{2} \sin{v} +C

\displaystyle \int{\cos{2z} \ dz} = \frac{1}{2} \sin{2z} +C

En la tercera integral, tiene la forma \displaystyle \int{\cos^{n}{u}\, du}, donde n=2, es decir, cumple con la condición del caso 2. Para ello, se toma la fórmula \displaystyle \cos^2{2z} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4z}.

\displaystyle \int{\cos^2{2z} \, dz} = \int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4z} \right) \, dz}

Resolviendo

\displaystyle \int{\cos^2{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \int{dz} + \frac{1}{2} \int{\cos{4z} \, dz}

\displaystyle \int{\cos^2{2z} \, dz} = \frac{1}{2} z + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4} \sin{4z} \right) + C

\displaystyle \int{\cos^2{2z} \, dz} = \frac{1}{2} z + \frac{1}{8} \sin{4z} + C

Y en la cuarta integral tiene la forma \displaystyle \int{\cos^n{u} \, du}, donde n=3, es decir, cumple con la condición del caso 1. Factorizando el integrando, se tiene que

\displaystyle \int{\cos^3{2z} \, dz} = \int{\cos^2{2z} \cos{2z} \, dz}

Aplicando la identidad trigonométrica \displaystyle \cos^2{2z} = 1 - \sin^2{2z}, resulta

\displaystyle \int{\cos^3{2z} \, dz} = \int{(1 - \sin^{2}{2z}) \cos{2z} \, dz}

\displaystyle \int{\cos^3{2z} \, dz} = \int{\cos{2z} \, dz} + \int{\sin^{2}{2z} \cos{2z} \, dz}

\displaystyle \int{\cos^3{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \sin{2z} + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} \sin^3{2z} \right) + C

\displaystyle \int{\cos^3{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \sin{2z} + \frac{1}{6} \sin^3{2z} + C

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos en cada integral, resulta

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \frac{1}{8} \int{dz} - \frac{3}{8} \int{\cos{2z} \, dz} + \frac{3}{8} \int{\cos^2{2z} \, dz} - \frac{1}{8} \int{\cos^3{2z} \, dz}

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \frac{1}{8} z - \frac{3}{8} \left(\frac{1}{2} \sin{2z} \right) + \frac{3}{8} \left(\frac{1}{2} z + \frac{1}{8} \sin{4z} \right) - \frac{1}{8}\left(\frac{1}{2} \sin{2z} + \frac{1}{6} \sin^3{2z} \right) + C

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \frac{1}{8} z - \frac{3}{16} \sin{2z} + \frac{3}{16} z + \frac{3}{64} \sin{4z} - \frac{1}{16} \sin{2z} + \frac{1}{48} \sin^3{2z} + C

\displaystyle \int{\sin^6{z} \, dz} = \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{16} \right) z + \left(- \frac{3}{16} - \frac{1}{16} \right) \sin{2z} + \frac{3}{64} \sin{4z} + \frac{1}{48} \sin^3{2z} + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin^6{z} \, dz} = \frac{5}{16} z - \frac{1}{4} \sin{2z} + \frac{3}{64} \sin{4z} + \frac{1}{48} \sin^3{2z} + C

Problema 4.. Hallar \displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx}.

Solución. Esta integral tiene la forma \displaystyle \int{\sin^m{u} \cos^n{u} \, du}, donde m=2 y n=2, es decir, cumple con la condición del caso 2. Este problema puede resolver de las dos maneras.

Primer método. Aplicando las fórmulas \displaystyle \sin^2{ax} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2ax} y \displaystyle \cos^2{ax} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \cos{2ax} en cada integral, resulta

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^{2}{ax} \, dx} = \int{\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2ax} \right) \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{2ax} \right) \ dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^{2}{ax} \, dx} = \int{\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos{2ax} - \frac{1}{4} \cos{2ax} - \frac{1}{4} \cos^2{2ax} \right) \, dx} = \int{ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos^2{2ax} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^{2}{ax} \, dx} = \frac{1}{4} \int{dx} - \frac{1}{4} \int{\cos^2{2ax} \, dx}

La primera integral es similar a

\displaystyle \int{dv} = v + C

Su resultado es

\displaystyle \int{dx} = x + C

En la segunda integral, tiene la forma \displaystyle \int{\cos^2{2ax} \, dx}, donde m=2, es decir, cumple con la condición del caso 2. Tomando la fórmula \displaystyle \cos^2{2ax} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4ax}, resulta

\displaystyle \int{\cos^2{2ax} \, dx} = \int{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos{4ax} \right) dx}

\displaystyle \int{\cos^2{2ax} \, dx} = \frac{1}{2} \int{dx} + \frac{1}{2} \int{\cos{4ax} \ dx}

Resolviendo

\displaystyle \int{\cos^2{2ax} \, dx} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4a} \sin{4ax} \right) + C

\displaystyle \int{\cos^2{2ax} \, dx} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8a} \sin{4ax} + C

Regresando y sustituyendo los resultados

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^{2}{ax} \, dx} = \frac{1}{4} \int{dx} - \frac{1}{4} \int{\cos^2{2ax} \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^{2}{ax} \, dx} = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2} x + \frac{1}{8a} \sin{4ax} \right) + C

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{4}x - \frac{1}{8} x - \frac{1}{32a} \sin{4ax} + C

Finalmente

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{8}x - \frac{1}{32a} \sin{4ax} + C

Segundo método. Factorizando el integrando

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \int{(\sin{ax} \cos{ax})^2 \, dx}

Aplicando la fórmula \displaystyle \sin{ax} \cos{ax} = \frac{1}{2} \sin{2ax}, resulta

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \int{\left(\frac{1}{2} \sin{2ax} \right)^2 \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \int{\frac{1}{4} \sin^2{2ax} \, dx} = \frac{1}{4} \int{\sin^2{2ax} \, dx}

Utilizando la siguiente fórmula \displaystyle \sin^2{2ax} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{4ax}, resulta

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{4} \int{ \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{4ax} \right) \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{8} \int{dx} - \frac{1}{8} \int{\cos{4ax} \, dx}

Resolviendo la primera integral, se observa que es similar a

\displaystyle \int{dv} = v + C

Entonces, su resultado es

\displaystyle \int{dx} = x + C

Resolviendo la segunda integral, se observa que es similar a

\displaystyle \int{\cos{v} \, dv} = \sin{v} + C

Observando que la variable v está representando a 4ax, es decir, sea v = 4ax; su diferencial es dv = 4a \ dx o \displaystyle dx = \frac{1}{4a} dv. Entonces

\displaystyle \int{\cos{4ax} \, dx} = \int{\cos{v} \left(\frac{1}{4a} dv \right)}

\displaystyle \int{\cos{4ax} \, dx} = \frac{1}{4a} \int{\cos{v} \, dv} = \frac{1}{4a} \sin{v} + C

\displaystyle \int{\cos{4ax} \, dx} = \frac{1}{4a} \sin{4ax} + C

Regresando y sustituyendo los resultados esperados

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{8} \int{dx} - \frac{1}{8} \int{\cos{4ax} \, dx}

\displaystyle \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \left( \frac{1}{4a} \sin{4ax} \right) + C

Finalmente

\displaystyle \therefore \int{\sin^2{ax} \cos^2{ax} \, dx} = \frac{1}{8} x - \frac{1}{32a} \sin{4ax} + C

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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