Integración de potencias de la función tangente o cotangente. Cálculo integral.

Introducción

Caso 4. Solución de integrales de la forma: $\displaystyle \int{\tan^{n}{u} \, du}$ o $\displaystyle \int{\cot^{n}{u} \, du}$ , donde el valor de $n$ debe ser un número entero.

En este caso, la expresión diferencial trigonométrica dada puede transformarse en una integral inmediata por medio de sustituciones trigonométricas sencillas.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz}$ .

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\tan^n{u} \, du}$ , donde $n=3$ (es un entero), es decir, cumple con la condición del caso 4. Para resolver la integral, primero se factoriza el integrando

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \int{\tan^2{2z} \tan{2z} \, dz}$

Tomando la identidad trigonométrica $\displaystyle \tan^2{2z} = sec^2{2z} - 1$ , resulta

$\displaystyle \int{\tan^2{2z} \tan{2z} \, dz} = \int{(\sec^2{2z} - 1) \tan{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\tan^2{2z} \tan{2z} \, dz} = \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} - \int{\tan{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\tan^2{2z} \tan{2z} \, dz} = \underbrace{\int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\tan{2z} \, dz}}_{2 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\tan{2z}$ , es decir, $v = \tan{2z}$ ; su diferencial es $dv = 2 \sec^2{2z} \ dz$ o $\displaystyle \sec^2{2z} \ dz = \frac{1}{2} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} = \int{v \left(\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \int{v \, dv} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} v^2 \right) + C = \frac{1}{4} v^2 + C$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{\tan{v} \, dv} = -\ln{\cos{v}} + C = \ln{\sec{v}} + C$

donde la variable $v$ está representando a $2z$ , es decir, sea $v=2z$ ; su diferencial es $dv=2 \ dz$ o $\displaystyle dz = \frac{1}{2} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = \int{\tan{v} \left(\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \int{\tan{v} \, dv} = -\frac{1}{2} \ln{\cos{v}} + C$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \ln{\cos{2z}} + C$

O también

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = \int{\tan{v} \left(\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \int{\tan{v} dv} = \frac{1}{2} \ln{\sec{v}} + C$

$\displaystyle \int{\tan{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \ln{\sec{2z}} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} - \int{\tan{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} - \left(-\frac{1}{2} \ln{\cos{2z}} \right) + C$

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} + \frac{1}{2} \ln{\cos{2z}} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\tan^3{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} + \frac{1}{2} \ln{\cos{2z}} + C$

O también

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \int{\tan{2z} \sec^2{2z} \, dz} - \int{\tan{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\tan^3{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} - \frac{1}{2} \ln{\sec{2z}} +C$

Y su resultado final también es

$\displaystyle \therefore \int{\tan^3{2z} \, dz} = \frac{1}{4} \tan^2{2z} - \frac{1}{2} \ln{\sec{2z}} + C$

Problema 2. Hallar la $\displaystyle \int{\cot^5{\frac{x}{2}} \, dx}$

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\cot^n{u} \, du}$ , donde $n=5$ (es un entero), es decir, cumple con la condición del caso 4. Para resolver esta integral, primero se debe factorizar el integrando

$\displaystyle \int{\cot^5{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} dx}$

Aplicando la identidad trigonométrica $\displaystyle \cot^2{\frac{x}{2}} = \csc^2{\frac{x}{2}} - 1$ , resulta

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \left(\csc^2{\frac{x}{2}} - 1 \right) \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} - \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \, dx}$

La segunda integral tiene la forma $\displaystyle \int{\cot^n{u} \, du}$ , donde $n=3$ (es un entero); cumple con la condición del caso 4. Factorizando el integrando

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} - \int{\cot^2{\frac{x}{2}} \cot{\frac{x}{2}} \, dx}$

Nuevamente aplicando la identidad $\displaystyle \cot^2{\frac{x}{2}} = \csc^2{\frac{x}{2}} - 1$ , resulta

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} -\int{ \left(\csc^2{\frac{x}{2}} - 1 \right) \cot{\frac{x}{2}} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} - \int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} + \int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \cot^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \underbrace{\int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx}}_{2 \textdegree} + \underbrace{\int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx}}_{3 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\displaystyle \cot{\frac{x}{2}}$ , es decir, sea $\displaystyle v = \cot{\frac{x}{2}}$ ; su diferencial es $\displaystyle dv = -\frac{1}{2} \csc^2{\frac{x}{2}} \ dx$ o $\displaystyle \csc^2{\frac{x}{2}} \ dx = -2 \ dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{v^3 (-2 \ dv)}$

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = -2\int{v^3 \, dv} = -2 \left(\frac{1}{4} v^4 \right) + C = -\frac{1}{2} v^4 + C$

$\displaystyle \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = -\frac{1}{2} \cot^4{\frac{x}{2}} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{v (-2\ dv)}$

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = -2\int{v \, dv} = -2 \left(\frac{1}{2} v^2 \right)+ C = -v^2 + C$

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} = -\cot^2{\frac{x}{2}} + C$

La tercera integral es similar a

$\displaystyle \int{\cot{v} \, dv} = \ln{\sin{v}} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\displaystyle \frac{x}{2}$ , es decir, sea $\displaystyle v = \frac{x}{2}$ ; su diferencial es $\displaystyle dv = \frac{1}{2} dx$ o $dx = 2 \ dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot{v} (2 \ dv)}$

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx} = 2\int{\cot{v} \, dv} = 2 \ln{\sin{v}} + C$

$\displaystyle \int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx} = 2 \ln{\sin{\frac{x}{2}}} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\cot^5{\frac{x}{2}} \, dx} = \int{\cot^3{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} - \int{\cot{\frac{x}{2}} \csc^2{\frac{x}{2}} \, dx} + \int{\cot{\frac{x}{2}} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^5{\frac{x}{2}} \, dx} = -\frac{1}{2} \cot^4{\frac{x}{2}} - \left(-\cot^2{\frac{x}{2}} \right) + 2 \ln{\sin{\frac{x}{2}}} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\cot^5{\frac{x}{2}} \, dx} = -\frac{1}{2} \cot^4{\frac{x}{2}} + \cot^2{\frac{x}{2}} + 2 \ln{\sin{\frac{x}{2}}} + C$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \int{\tan^4{ax} \, dx}$ .

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\tan^n{u} \, du}$ , donde $n=4$ (es un entero), es decir, cumple con la condición del caso 4. Para Factorizando el integrando

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \, dx} = \int{\tan^2{ax} \tan^2{ax} dx}$

Aplicando la identidad $\displaystyle \tan^2{ax} = \sec^2{ax} - 1$ , resulta

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \, dx} = \int{\tan^2{ax} (\sec^2{ax} - 1) \, dx}$

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \, dx} = \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} - \int{\tan^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \, dx} = \underbrace{\int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx}}_{1} - \underbrace{\int{\tan^2{ax} \, dx}}_{2}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ representa a $\displaystyle \tan{ax}$ , es decir, sea $v = \tan{ax}$ ; su diferencial es $dv = a \sec^2{ax} \ dx$ o $\displaystyle \sec^2{ax} \ dx = \frac{1}{a} dx$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \int{v^2 \left(\frac{1}{a} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \int{v^2 \, dv} = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{3} v^3 \right) + C = \frac{1}{3a} v^3 + C$

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{3a} \tan^3{ax} + C$

En la segunda integral tiene la forma $\displaystyle \int{\tan^n{u} \, du}$ , donde $n=2$ (es un entero), lo cual indica que nuevamente cumple con la condición del caso 4. Para resolverla, se debe aplicar la identidad $\tan^2{ax} = \sec^2{ax} - 1$ . Con esto resulta lo siguiente