Integración de potencias de la función secante o cosecante. Cálculo integral.

Introducción

Caso 5. Solución de integrales de la forma: $\displaystyle \int{\sec^n{u} \, du}$ o $\displaystyle \int{\csc^n{u} \, du}$ , donde el valor de n debe ser un número entero positivo par.

En este caso, la expresión diferencial trigonométrica dada puede transformarse en una integral inmediata por medio de sustituciones trigonométricas sencillas.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx}$

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\sec^n{u} \, du}$ , donde $n=6$ (es un entero positivo par), es decir, cumple con la condición del caso 5. Para resolver esta integral, se debe factorizar el integrando

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{\sec^4{ax} \sec^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{{(\sec^2{ax})}^2 \sec^2{ax} \, dx}$

Tomando la identidad $\displaystyle sec^2{ax} = 1 + \tan^2{ax}$ , resulta

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{{(1 + \tan^2{ax})}^2 \sec^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{(1 + 2 \tan^2{ax} + \tan^4{ax}) \sec^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{\sec^2{ax} \, dx} + 2\int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} + \int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \underbrace{\int{\sec^2{ax} \, dx}}_{1 \textdegree} + 2 \underbrace{\int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx}}_{2 \textdegree} + \underbrace{\int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx}}_{3 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{\sec^2{v} \, dv} = \tan{v} + C$

donde la variable $v$ está representando a $ax$ , es decir, sea $v=ax$ ; su diferencial es $\displaystyle dv = a \ dx$ o $\displaystyle dx = \frac{1}{a} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\sec^2{ax} \, dx} = \int{\sec{v} \left(\frac{1}{a} \, dv \right)}$

$\displaystyle \int{\sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \int{\sec{v} \, dv} = \frac{1}{a} \tan{v} + C$

$\displaystyle \int{\sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \tan{ax} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1}+ C$

donde la variable $v$ está representando a $\tan{ax}$ , es decir, sea $v = \tan{ax}$ ; su diferencial es $dv = a \sec^2{ax} \ dx$ o $\displaystyle \sec^2{ax} = \frac{1}{a} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \int{v^2 \left(\frac{1}{a} \ dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \int{v^2 \, dv} = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{3} v^3 \right) + C = \frac{1}{3a} v^3 + C$

$\displaystyle \int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{3a} \tan^3{ax} + C$

La tercera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representnando a $\tan{ax}$ , es decir, sea $\displaystyle v = \tan{ax}$ ; su diferencial es $dv = a \sec^2{ax} \ dx$ o $\displaystyle \sec^2{ax} = \frac{1}{a} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \int{v^4 \left(\frac{1}{a} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \int{v^4 \, dv} = \frac{1}{a} \left(\frac{1}{5} v^5 \right) + C = \frac{1}{5a} v^5 + C$

$\displaystyle \int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx} = \frac{1}{5a} \tan^5{ax} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \int{\sec{ax} \, dx} + 2\int{\tan^2{ax} \sec^2{ax} \, dx} + \int{\tan^4{ax} \sec^2{ax} \, dx}$

$\displaystyle \int{\sec^6{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \tan{ax} + 2 \left(\frac{1}{3a} \tan^3{ax} \right) + \frac{1}{5a} \tan^5{ax} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\sec^6{ax} \, dx} = \frac{1}{a} \tan{ax} + \frac{2}{3a} \tan^3{ax} + \frac{1}{5a} \tan^5{ax} + C$

Problema 2. Hallar $\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz}$ .

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\csc^n{u} \, du}$ , donde $n=4$ (un entero positivo par), es decir, cumple con la condición del caso 5. Para resolver esta integral, primero se debe factorizar el integrando

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = \int{\csc^2{2z} \csc^2{2z} \, dz}$

Utilizando la identidad trigonométrica $\csc^2{2z} = 1 + cot^2{2z}$ y realizando la multiplicación, resulta

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = \int{\csc^2{2z} (1 + \cot^2{2z}) \, dz}$

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = \int{\csc^2{2z} \, dz} + \int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = \underbrace{\int{\csc^2{2z} \, dz}}_{1 \textdegree} + \underbrace{\int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz}}_{2 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{\csc^2{v} \, dv} = -\cot{v} + C$

donde la variable $v$ está representnando a $2z$ , es decir, sea $v = 2z$ ; su diferencial es $dv = 2 \ dz$ o $\displaystyle dz = \frac{1}{2} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\csc^2{2z} \, dz} = \int{\csc^2{v} \left(\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\csc^2{2z} \, dz} = \frac{1}{2} \int{\csc^2{v} \, dv} = -\frac{1}{2} \cot{v} + C$

$\displaystyle \int{\csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \cot{2z} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\cos{2z}$ , es decir, sea $v = \cot{2z}$ ; su diferencial es $dv = -2 \csc^2{2z} \ dz$ o $\displaystyle \csc^2{2z} = -\frac{1}{2} \ dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz} = \int{v^2 \left(-\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \int{v^2 \, dv} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} v^3 \right) + C = -\frac{1}{6} v^3 + C$

$\displaystyle \int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{6} \cot^3{2z} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = \int{\csc^2{2z} \, dz} + \int{\cot^2{2z} \csc^2{2z} \, dz}$

$\displaystyle \int{\csc^4{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \cot{2z} + \left(-\frac{1}{6} \cot^3{2z} \right) + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\csc^4{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \cot{2z} - \frac{1}{6} \cot^3{2z} + C$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \int{\frac{d\theta}{\sin^2{\theta}}}$ .

Solución. Aplicando la identidad $\displaystyle \frac{1}{\sin{\theta}} = \csc{\theta}$

$\displaystyle \int{\frac{d\theta}{\sin^2{\theta}}} = \int{\csc^2{\theta} \, d\theta}$

Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\csc^n{u} \, du}$ , donde $n=2$ (es un entero positivo par), es decir, cumple con la condición del caso 5. Para resolver esta integral, se observa que esta integral es similar a