Integración de productos de potencias de tangentes y secantes o cotangentes y cosecantes. Cálculo integral.

Introducción

Caso 6. Solución de integrales de la forma: $\displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du}$ o $\displaystyle \int{\cot^m{u} \sec^n{u} \, du}$ , donde el valor de $n$ debe ser un número entero positivo par o $m$ debe ser impar.

Para integrar algunas diferenciales trigonométricas fácilmente, es necesario transformarlas en integrales inmediatas por medio de reducciones trigonométricas sencillas.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx}$

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du}$ , donde $m=4$ y $n=2$ , donde $n$ es par, es decir, cumple con la condición del caso 6. Esta integral se puede resolver directamente, ya que es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\tan{3x}$ , es decir, sea $v=\tan{3x}$ ; su diferencial $dv=3 \sec^2{3x} \ dx$ o $\displaystyle \frac{1}{3} dv = \sec^2{3x} \ dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \int{v^4 \left(\frac{1}{3} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{3} \int{v^4 \, dv} = \frac{1}{3} \left(\frac{1}{5} v^5 \right) + C = \frac{1}{15} v^5 + C$

$\displaystyle \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{15} \tan^5{3x} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\tan^4{3x} \sec^2{3x} \, dx} = \frac{1}{15} \tan^5{3x} + C$

Problema 2. Hallar $\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz}$ .

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\cot^m{u} \csc^n{u} \, du}$ , donde $m=5$ y $n=2$ , donde $m$ es impar y $n$ es par, es decir, cumple con la condición del caso 6. Esta es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\cot{2z}$ , es decir, sea $\displaystyle v = \cot{2z}$ ; su diferencial es $dv=-2 \csc^2{2z} \ dz$ o $\displaystyle \csc^2{2z} dz = -\frac{1}{2} dv$ . Su resultado es

$\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = \int{v^5 \left(-\frac{1}{2} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{2} \int{v^5 \, dv} = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{6} v^6 \right) + C = -\frac{1}{12} v^6 + C$

$\displaystyle \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{12} \cot^6{2z} + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\cot^5{2z} \csc^2{2z} \, dz} = -\frac{1}{12} \cot^6{2z} + C$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}$ .

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\tan^m{u} \sec^n{u} \, du}$ , donde $m=1$ ( $m$ es impar), esto cumple con la condición del caso 6. Para resolver esta integral, primero se factoriza la función tangente del integrando

$\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}$

Después, se aplica la identidad trigonométrica $\tan^2{\theta} = \sec^2{\theta} - 1$

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{(\sec^2{\theta} - 1) \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}$

Resolviendo

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan{\theta} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} \, d\theta} -\int{\tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\tan{\theta} \sec{\theta} \sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \, d\theta} -\int{\tan{\theta} \sec{\theta} \sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} -\int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\tan^2{\theta} \tan{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \underbrace{\int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}}_{2 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\sec{\theta}$ , es decir, sea $\displaystyle v = \sec{\theta}$ ; su diferencial es $dv = \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta$ . El resultado para esta primera integral es

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \int{v^{\frac{7}{2}} \, dv}$

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{v^{7/2 + 1}}{\frac{7}{2}+1} + C = \frac{v^{9/2}}{\frac{9}{2}} + C = \frac{1}{\frac{9}{2}} v^{\frac{9}{2}} + C = \frac{2}{9} v^{\frac{9}{2}} + C$

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\sec{\theta}$ , es decir sea $v = \sec{\theta}$ ; su diferencial es $dv = \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta$ . El resultadopara esta segunda integral es

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \int{v^{\frac{3}{2}} \, dv}$

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{v^{3/2+1}}{\frac{3}{2} + 1} + C= \frac{v^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{1}{\frac{5}{2}} v^{5/2} + C = \frac{2}{5} v^{5/2} + C$

$\displaystyle \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \int{\sec^{\frac{7}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta} - \int{\sec^{\frac{3}{2}}{\theta} \tan{\theta} \sec{\theta} \, d\theta}$

$\displaystyle \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} - \left(\frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \right) + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\tan^3{\theta} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} \, d\theta} = \frac{2}{9} \sec^{\frac{9}{2}}{\theta} - \frac{2}{5} \sec^{\frac{5}{2}}{\theta} + C$

Problema 4. Hallar $\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx}$

Solución. Esta integral tiene la forma $\displaystyle \int{\cot^m{u} \csc^n{u} \, du}$ , donde $m=3$ (es impar), esto cumple con la condición del caso 6. Para resolver eta integral, primero se factoriza la función cotangente del integrando

$\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx}$

Aplicando la identidad trigonométrica $\cot^2{mx} = \csc^2{mx} - 1$ , resulta

$\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{(\csc^2{mx} - 1) \cot{mx} \csc{mx} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{\csc^3{mx} \cot{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \int{\csc^2{mx} \csc{mx} \cot{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} dx} = \underbrace{\int{\csc^2{mx} \csc{mx} \cot{mx} \, dx}}_{1 \textdegree} - \underbrace{\int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}}_{2 \textdegree}$

La primera integral es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C$

donde la variable $v$ está representando a $\csc{mx}$ , es decir, sea $v = \csc{mx}$ ; su diferencial es $\displaystyle dv = -m \cot{mx} \csc{mx} \, dx$ o $\displaystyle \cot{mx} \csc{mx} \, dx = -\frac{1}{m} \, dv$ . El resultado para esta primera integral es es

$\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{v^2 \left(-\frac{1}{m} \right) \, dv}$

$\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{m} \int{v^2 \, dv}$

$\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = - \frac{1}{m} \left(\frac{1}{3} v^3 \right) + C = -\frac{1}{3m} v^3 + C$

$\displaystyle \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} + C$

La segunda integral es similar a

$\displaystyle \int{\cot{v} \csc{v} \, dv} = -\csc{v} + C$

donde la variable $v$ está representando a $mx$ , es decir, sea $v = mx$ ; su diferencial es $\displaystyle dv = m \ dx$ o $\displaystyle dx = \frac{1}{m} dv$ . El resultado ara esta segunda integral es

$\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\cot{v} \csc{v} \left(\frac{1}{m} dv \right)}$

$\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = \frac{1}{m} \int{\cot{v} \csc{v} \, dv} = -\frac{1}{m} \csc{v} + C$

$\displaystyle \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{m} \csc{mx} + C$

Regresando y sustituyendo los resultados obtenidos

$\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = \int{\csc^2{mx} \cot{mx} \csc{mx} \, dx} - \int{\cot{mx} \csc{mx} \, dx}$

$\displaystyle \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} - \left(-\frac{1}{m} \csc{mx} \right) + C$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \int{\cot^3{mx} \csc{mx} \, dx} = -\frac{1}{3m} \csc^3{mx} + \frac{1}{m} \csc{mx} + C$

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