Integración aproximada (fórmula de los trapecios y fórmula de Simpson). Cálculo integral.

Representación geométrica de una integral

Considerando $(x,y)$ como coordenadas de un punto fijo, la integral $\displaystyle \int_a^b{y \, dx}$ representa un área. Si al suponer que la ordenada presenta la velocidad de un punto móvil y la abscisa corresponde al tiempo en que el punto tiene dicha velocidad, entonces su representación gráfica es la de una curva que describe la velocidad de movimiento, y el área bajo ella entre dos ordenadas representa la distancia recorrida en el intervalo de tiempo limitante.

Por lo anterior, se deduce que el valor de la integral que representa el área es igual al valor que representa la distancia; de igual manera, toda integral definida cuyo significado sea el volumen, la superficie, la masa, la fuerza, etc., puede ser representada geométricamente por un área.

Fórmula de los trapecios

La aplicación de la fórmula de los trapecios es útil cuando la integración en $\displaystyle \int_a^b{f(x) \, dx}$ es difícil o no se efectúa en términos de funciones elementales. El valor numérico exacto de $\displaystyle \int_a^b{f(x) \, dx}$ es la medida del área de la superficie limitada por la curva $y=f(x)$ , el eje de las $x$ y las ordenadas $x=a$ y $x=b$ .

El valor de esta área puede determinarse, aproximadamente, sumando trapecios, tal como se observa en la figura 4.3.1.

Dividiendo el segmento $b-a$ del semieje OX en $n$ partes iguales, y sea $\Delta x$ la longitud de cada parte, es decir

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

Sean las abscisas de los puntos de división de la función

$x_0 = a$ , $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , …, $x_n = b$

Trazar en estos puntos las coordenadas correspondientes de la curva $y=f(x)$ , y sean éstas:

$y_0 = f(x_0 )$ , $y_1=f(x_1 )$ , $y_2=f(x_2 )$ , $y_3=f(x_3 )$ ,⋯, $y_n=f(x_n )$

Se unen las extremidades de las ordenadas consecutivas por líneas rectas (cuerdas); de esta manera se formarán trapecios. Puesto que el área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura, se tiene

$\displaystyle \frac{1}{2} (y_0+y_1 )\Delta x =$ área del primer trapecio,

$\displaystyle \frac{1}{2} (y_1+y_2 ) \Delta x =$ área del segundo trapecio,

$\displaystyle \frac{1}{2} (y_2+y_3 ) \Delta x =$ área del tercer trapecio,

…

$\displaystyle \frac{1}{2} (y_{n-1} + y_n ) \Delta x =$ área del enésimo trapecio

Sumando, se tiene la fórmula del área de todos los trapecios, y es

$\displaystyle Area \, total = \left( \frac{1}{2} y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_{n-1} + \frac{1}{2} y_n \right) \Delta x$

Es necesario toman en cuenta que cuanto mayor sea el número de intervalos (cuanto más pequeño sea $\Delta x$ ) tanto más se aproximará el área total de los trapecios al área bajo la curva.

Problemas resueltos

P1. Empleando la fórmula de los trapecios, calcular el área aproximada de la curva $y=x^2$ dividiendo de $x=2$ a $x=8$ en seis intervalos. Comparar el resultado obtenido, efectuando la integración directa.

Solución.

Primero, se calcula la longitud de cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{8-2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$\displaystyle \Delta x = 1$

Después, se tabula la función con los valores de la abscisa sucesivos de tamaño $\Delta x = 1$ , desde $x=2$ hasta $x=8$ .

Imagentabla1

Los valores obtenidos en la tabla se sustituyen en la fórmula de los trapecios.

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + \cdots + y_{n-1} + \frac{1}{2} y_n \right) \Delta x$

$\displaystyle Area \, total = \left( \frac{1}{2} y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + \frac{1}{2} y_6 \right) \Delta x$

$\displaystyle Area \, total = \left[\frac{1}{2} (4) + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + \frac{1}{2} (64) \right] (1)$

$\displaystyle = (2+135+32)(1)=(169)(1)=169$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area \, total=169 u^2$

Aplicando la integración directa

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_2^8{x^2 \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{x^2 \, dx}$

Es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{x^2 \, dx} = \frac{1}{2+1} x^{2+1} + C = \frac{1}{3} x^3 + C$

Reemplazando la variable x por los valores de los límites, resulta

$\displaystyle \int_2^8{x^2 \, dx} = \left[\frac{1}{3} x^3 + C \right]_2^8$

$\displaystyle = \frac{1}{3} (8)^3 - \frac{1}{3} (2)^3 = \frac{512}{3} - \frac{8}{3} = \frac{504}{3} = 168$

Por tanto

$\displaystyle Area = 168 u^2$

P2. Efectuando la fórmula de los trapecios, calcular el área aproximada para la curva $x^2+y^2=64$ , dividiendo de $x=4$ a $x=8$ en ocho intervalos. Comparar el resultado obtenido efectuando la integración directa.

Solución.

Primero, se calcula la longitud de cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{8-4}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$

$\Delta x = 0.5$

Después, de la función brindada, se despeja la variable $y$ .

$x^2+y^2=64$

$y^2=64-x^2$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{64-x^2}$

Se toma solo la parte positiva de la raíz, entonces

$\displaystyle y = \sqrt{64-x^2}$

Luego, se tabula la función con los valores de la abscisa sucesivos de tamaño $\Delta x = 0.5$ , desde $x=4$ hasta $x=8$ .

Imagentabla2

Los valores obtenidos y mostrados en la tabla se van a sustituir en la fórmula de los trapecios.

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+ \cdots +y_{n-1}+\frac{1}{2} y_n \right) \Delta x$

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6+y_7+\frac{1}{2} y_8 \right) \Delta x$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{2} (6.928)+6.614+6.244+5.809+5.291+4.663+3.872+2.783+\frac{1}{2} (0) \right] (0.5)$

$(3.464+35.276+0)(0.5)=(38.74)(0.5)=19.37$

Finalmente

$\therefore Area \, total=19.37 u^2$

Por integración directa, se toma la fórmula para calcular el área.

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_4^8{\sqrt{64-x^2} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\sqrt{64-x^2} \, dx}$

Es similar a

$\displaystyle \int{\sqrt{a^2-v^2} \, dv} = \frac{1}{2} v \sqrt{a^2-v^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{v}{a})} + C$

Analizando las variables

datos1

El resultado de esta integral es

$\displaystyle \int{\sqrt{64-x^2} \, dx} = \int{\sqrt{a^2-v^2} \, dv} = \frac{1}{2} v \sqrt{a^2-v^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{v}{a})} + C$

$\displaystyle = \frac{1}{2} x\sqrt{64-x^2} + \frac{1}{2} (64) \arcsin{(\frac{x}{8})} + C = \frac{1}{2} x\sqrt{64-x^2} + 32 \arcsin{(\frac{x}{8})} + C$

Regresando y reemplazando la variable x por los límites indicados, resulta

$\displaystyle \int_4^8{\sqrt{64-x^2} \, dx} = \left[ \frac{1}{2} x\sqrt{64-x^2} + 32 \arcsin{(\frac{x}{8})} + C\right]_4^8$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{2} (8) \sqrt{64-64} ) +32 \arcsin{(\frac{8}{8})} \right] -\left[ \frac{1}{2} (4) \sqrt{64-16} + 32\arcsin{(\frac{4}{8})} \right]$

$\displaystyle = (0+32 \arcsin{1}) - (2\sqrt{52} + 32 \arcsin{(\frac{1}{2})}$

$\displaystyle = 32(\frac{1}{2} \pi) - 2\sqrt{52} - 32 \arcsin{\frac{1}{2}} = 19.088$

Finalmente

$\displaystyle\therefore Area=19.088 u^2$

P3. Empleando la fórmula de los trapecios, calcular el área aproximada para la curva $xy=1$ , dividiendo de $x=3$ a $x=10$ en siete intervalos. Compara el resultado obtenido efectuando la integración directa.

Solución.

Primero, se calcula la longitud de cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{10-3}{7} = \frac{7}{7} = 1$

$\displaystyle \Delta x = 1$

Después, de la función brindada, se despeja la variable $y$ .

$\displaystyle xy=1$

$\displaystyle y = \frac{1}{x}$

Luego, se tabula la función con los valores de la abscisa sucesivos de tamaño $\Delta x=1$ , desde $x=3$ hasta $x=10$ .

Imagentabla3

Los valores obtenidos y mostrados en la tabla se van a sustituir en la fórmula de los trapecios.

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+ \cdot +y_{n-1} + \frac{1}{2} y_n \right) \Delta x$

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6 + \frac{1}{2} y_7 \right) \Delta x$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{2} (0.333)+0.25+0.2+0.166+0.142+0.125+0.111+\frac{1}{2} (0.1)\right](1)$

$=(0.167+0.994+0.05)(1)=1.211$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area \, total = 1.211 u^2$

Ahora, determinando el área por integración directa, se tiene que

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_3^10{\frac{1}{x} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\frac{1}{x} \, dx}$

Se observa que es similar a

$\displaystyle \int{\frac{1}{v} \, dv} = \ln{v} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{\frac{1}{x} \, dx} = \ln{x} + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por los límites indicados, resulta

$\displaystyle Area = \int_3^10{\frac{1}{x} \, dx} = [\ln{x} + C]_3^10$

$\displaystyle = (\ln{10} ) - (\ln{3} ) = 1.204$

Finalmente

$\displaystyle Area=1.204 u^2$

Fórmula de Simpson o parabólica

Uniendo las extremidades de las ordenadas sucesivas por arcos de parábolas y sumando las áreas bajo dichos arcos se obtiene una mayor aproximación del área bajo una curva.
Una parábola con eje vertical puede hacerse pasar por tres puntos cualesquiera de una curva; una serie de arcos parabólicos se aproximará lo más posible a la curva dada que la línea quebrada formada por las cuerdas que dan lugar a los trapecios.

La ecuación de dicha parábola tiene la forma $y=ax^2+2bx+c$ , donde los valores de las constantes $a$ , $b$ y $c$ pueden determinarse de manera que esta parábola pase por tres puntos dados.

Al dividir el intervalo desde $x=a=OM_0$ hasta $x=b=OM_n$ en un número $n$ (par) de partes iguales, cada una de tamaño $\Delta x$ . Para cada serie de tres puntos sucesivos $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ ; $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ ; $P_4$ , $P_5$ , $P_6$ , etc., se trazan arcos de parábolas con ejes verticales. Las ordenadas de dichos puntos son $y_0$ , $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , ⋯ , $y_n$ , tal y como se indica en la figura.

figura 4.3.2 — *Figura 4.3.2 Representación gráfica de la fórmula Simpson.*

Sustituyendo el área $M_0$ $P_0$ $P_1$ $P_n$ $M_n$ por una serie de tiras parabólicas dobles como $M_0$ $P_0$ $P_1$ $P_2$ $M_2$ , cuya extremidad superior es en cada caso un arco parabólico cuya ecuación es $y=ax^2+2bx+c$ . El área de cada tira se obtiene empleando la fórmula

$\displaystyle Area = \frac{h}{3} (y + 4y' + y'')$

Para la primera tira parabólica, se tiene que $h = \Delta x$ , $y=y_0$ , $y'=y_1$ , $y''=y_2$ ; luego su área es

$\displaystyle M_0 \, P_0 \, P_1 \, P_2 \, M_2 = \frac{\Delta x}{3} (y_0 + 4y_1 + y_2 )$

De la misma manera, se tiene que para:

La segunda tira parabólica:

$\displaystyle M_2 \, P_2 \, P_3 \, P_4 \, M_4 = \frac{\Delta x}{3} (y_2 + 4y_3 + y_4 )$

La tercera tira parabólica:

$\displaystyle M_4 \, P_4 \, P_5 \, P_6 \, M_6 = \frac{\Delta x}{3} (y_4 + 4y_5 + y_6 )$

La última tira parabólica:

$\displaystyle M_{n-2} \, P_{n-2} \, P_{n-1} \, P_n \, M_n = \frac{\Delta x}{3} (y_{n-2} + 4y_{n-1} + y_n )$

Sumando el área de cada una de las tiras parabólicas, se obtiene la fórmula de Simpson, donde $n$ es par; es decir:

$\displaystyle Area \, total = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+ \cdots +y_n )$

Al igual que en la fórmula de los trapecios, cuanto mayor sea el número de partes en que se divide $M_0$ $M_n$ tanto más se aproximará el resultado al área bajo la curva.

Problemas resueltos

P1. Empleando la fórmula Simpson, calcular el área aproximada para la curva $y=x^3$ , dividiendo de $x=2$ a $x=10$ en ocho intervalos. Comparar el resultado obtenido aplicando la integración directa.

Solución.

Primero se determina la longitud para cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{10-2}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$\displaystyle \Delta x = 1$

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño $\Delta x=1$ , a partir de $x=2$ a $x=10$ .

Imagentabla4

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

$\displaystyle Area \, total = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+4y_5+2y_6+4y_7+y_8 )$

$\displaystyle = \frac{1}{3} [8+4(27)+2(64)+4(125)+2(216)+4(343)+2(512)+4(729)+1000]$

$\displaystyle = \frac{1}{3} (8+108+128+500+432+1372+1024+2916+1000) = \frac{1}{3} (7488)$

$\displaystyle \therefore Area \, total=2496 u^2$

Comparando este resultado con la integración directa

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_2^10{x^3 \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{x^3 \, dx}$

Se observa que es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle \int{x^3 \, dx} = \frac{1}{3+1} x^{3+1} + C = \frac{1}{4} x^4+C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_2^10{x^3 \, dx} = \left[\frac{1}{4} x^4+C\right]_2^10$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{4} (10)^4+C\right]-\left[\frac{1}{4} (2)^4+C\right] = \frac{10000}{4}-\frac{16}{4} = 2496$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area=2496 u^2$

P2. Empleando la fórmula Simpson, calcular el área aproximada para la curva $\displaystyle y = x\sqrt{25-x^2}$ , dividiendo de $x=0$ a $x=4$ en cuatro intervalos. Comparar el resultado obtenido aplicando la integración directa.

Solución.

Primero se determina la longitud para cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{4-0}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$\displaystyle \Delta x = 1$

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño $\Delta x=1$ , a partir de $x=0$ a $x=4$ .

Imagentabla5

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

$\displaystyle Area \, total = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+y_4 )$

$\displaystyle = \frac{1}{3} [0+4(4.898)+2(9.165)+4(12)+12]$

$\displaystyle = \frac{1}{3} (0+19.592+18.33+48+12) = \frac{1}{3} (97.922)$

$\displaystyle \therefore Area \, total = 32.641 u^2$

Comparando este resultado con la integración directa

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{x \sqrt{25-x^2} \, dx}$

Se observa que es similar a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Analizando la variable $v$

$v=25-x^2$

$\displaystyle dv = -2x \, dx \rightarrow x \, dx = -\frac{1}{2} \, dv$

Entonces

$\displaystyle \int{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = \int{\sqrt{25-x^2} \, x \, dx} = \int{\sqrt{v} (-\frac{1}{2} \, dv} = -\frac{1}{2} \int{\sqrt{v} \, dv}$

$\displaystyle = -\frac{1}{2} \int{v^{\frac{1}{2}} \, dv} = -\frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{1}{2}+1}) v^{\frac{1}{2}+1} + C = -\frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{3}{2}}) v^{\frac{3}{2}} + C = -\frac{1}{3} (\sqrt{25-x^2})^3 + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_0^4{x\sqrt{25-x^2} \, dx} = \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-x^2})^3 + C\right]_0^4$

$\displaystyle = \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-16})^3 + C\right] - \left[-\frac{1}{3} (\sqrt{25-0})^3 + C\right] = -\frac{1}{3} (27) + \frac{1}{3} (125) = 32.667$

Finalmente

$\therefore Area = 32.667 u^2$

P3. Empleando la fórmula de Simpson, calcula el área aproximada para la curva $\displaystyle y = \sqrt{2 - \cos^2{\theta}}$ , dividiendo de $\theta = 0$ a $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2}$ en seis intervalos. Comparar el resultado obtenido, aplicando la fórmula de los trapecios.

Solución.

Primero se determina la longitud para cada intervalo

$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{\frac{\pi}{2}-0}{6} = \frac{\frac{\pi}{2}}{6} = \frac{\pi}{12}$

$\displaystyle \Delta x = \frac{\pi}{12}$

Después, se realiza una tabulación con la ecuación de la curva asignando valores de abscisa sucesivas de tamaño $\displaystyle \Delta x = \frac{\pi}{12}$ , a partir de $x=0$ a $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

Imagentabla6

Luego, utilizando la fórmula de Simpson, se sustituyen los valores obtenidos en la tabulación.

$\displaystyle Area \, total = \frac{\Delta x}{3} (y_0+4y_1+2y_2+4y_3+2y_4+4y_5+y_6 )$

$\displaystyle = \frac{\frac{\pi}{12}}{3} [1+4(1.032)+2(1.118)+4(1.224)+2(1.322)+4(1.390)+1.414]$

$\displaystyle = \frac{\pi}{36} (1+4.128+2.236+4.896+2.644+5.56+1.414) = \frac{\pi}{36} (21.878)$

$\displaystyle \therefore Area \, total=1.9092 u^2$

Los valores obtenidos y mostrados en la tabla se van a sustituir en la fórmula de los trapecios.

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+ \cdot +y_{n-1} + \frac{1}{2} y_n \right) \Delta x$

$\displaystyle Area \, total = \left(\frac{1}{2} y_0+y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+\frac{1}{2} y_6 \right) \Delta x$

$\displaystyle = \left[ \frac{1}{2} (1)+1.032+1.118+1.224+1.322+1.390 + \frac{1}{2} (1.414)\right] \left(\frac{\pi}{12} \right)$

$\displaystyle = \left(\frac{1}{2}+6.086+0.707\right) \left(\frac{\pi}{12} \right)=1.9093$

$\displaystyle \therefore Area \, total=1.9093 u^2$

Integración aproximada (fórmula de los trapecios y fórmula de Simpson). Cálculo integral.

Publicado por Cesar Reyes

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