Obtención de área planas por integración cuando la diferencial de área es una función cartesiana. Cálculo integral.

Introducción

El área entre una curva $y=f(x)$ , el eje de las $x$ y las ordenadas correspondientes $x=a$ y $x=b$ está dada por la fórmula

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

La fórmula anterior es fácil de recordar, puesto que el elemento de área es un rectángulo como $BQ$ (figura 4.4.1) de base $dx$ y altura $y$ .

El área buscada $ACRP$ es el límite de la suma de todos esos rectángulos (tiras) ubicados entre las ordenadas $AP$ y $CR$ .

Se aplica el teorema fundamental del cálculo integral al cálculo del área de la superficie limitada por la curva $x=\phi (y)$ , el eje de las $y$ y las líneas horizontales $y=c$ y $y = d$ .

Primer paso. Se construyen los $n$ rectángulos tal y como se indica en la figura 4.4.2.

Naturalmente que el área buscada es el límite de la suma de las áreas de estos rectángulos cuando su número tiende a infinito y la altura de cada uno tiene a cero.

Segundo paso. Las alturas se representan con $\Delta y_1$ , $\Delta y_2$ , $\Delta y_3$ , etc. En cada intervalo, se toma un punto en la extremidad superior y se designa las ordenadas de dichos puntos como $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , etc. Por lo anterior, las bases son $\phi (y_1 )$ , $\phi (y_2 )$ , $\phi (y_3 )$ , etc. Por tanto, la suma de las áreas de los rectángulos es

$\displaystyle \phi (y_1 ) \Delta y_1 + \phi (y_2 ) \Delta y_2 + \phi (y_3 ) \Delta y_3 + \cdots + \phi (y_n ) \Delta y_n = \sum_{i=1}^{n}{\phi (y_i ) \Delta y_i}$

Tercer paso. Por el teorema fundamental del cálculo integral se obtiene:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{\phi (y_i ) \Delta y_i} }= \int_c^d{\phi (y) \, dy}$

Entonces el área entre una curva dada, el eje de las $y$ y las líneas horizontales $y=c$ y $y=d$ está dada por la fórmula

$\displaystyle Area = \int_c^d{x \, dy}$

La fórmula anterior es fácil de recordar, si se piensa en el límite de la suma de todos los rectángulos horizontales (tiras) contenidos en el área buscada, ya que $x$ y $dy$ son la base y la altura, respectivamente, de un rectángulo cualquiera (figura 4.4.3).

figura 4.4.3 — *Figura 4.4.3 Representación gráfica del área.*

Problemas resueltos

P1. Calcular el área de la superficie limitada por la curva $y = xe^x$ , el eje de las $x$ y la recta $x=4$ .

Solución.

Tomando la fórmula para calcular el área sobre el eje $x$

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_0^4{xe^x \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{xe^x \, dx}$

Se aplica el método de integración por partes.

$\displaystyle \int{xe^x \, dx} = e^x (x-1) + C$

Regresando y reemplazando la variable x por sus respectivos límites

$\displaystyle \int_0^4{xe^x \, dx} = [e^x (x-1)+C]_0^4$

$\displaystyle = [e^4 (4-1)+C]-[e^0 (0-1)+C] = 3e^4+e^0 \approx 164.794$

Finalmente

$\displaystyle Area = 164.794 u^2$

P2. Calcular el área de la superficie limitada por la curva $y = \ln{x}$ , el eje de las $x$ y la recta $x=10$ .

Solución.

tabla4.4.1

Graficando, se tiene lo siguiente

figura 4.4.4 — *Figura 4.4.4 Representación gráfica de la función y=ln(x).*

Después, calculando el área tomando la siguiente fórmula

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_1^10{\ln{x} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\ln{x} \, dx}$

Por el método de integración por partes, resulta

$\displaystyle \int{\ln{x} \, dx} = x \ln{x} - \int{dx} = x \ln{x} - x + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites

$\displaystyle \int_1^10{\ln{x} \, dx} = [x \ln{x} - x + C]_1^10$

$\displaystyle = [10 \ln{10} - 10] - [1 \ln{1} - 1] = 14.026$

Finalmente

$\therefore Area = 14.026 u^2$

P3. Calcular el área de la superficie limitada por la curva $x=9y-y^3$ , el eje de las $y$ y las rectas $y=0$ y $y=3$ .

Solución.

Teniendo definidos los límites y la ecuación de la curva, se toma la fórmula para calcular el área bajo el eje $y$ .

$\displaystyle Area = \int_c^d{x \, dy}$

$\displaystyle Area = \int_0^3{(9y - y^3 ) \, dy}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(9y-y^3 ) \, dy} = 9\int{y \, dy} - \int{y^3 \, dy}$

Ambas integrales son similares a

$\displaystyle \int{v^n \, dv} = \frac{1}{n+1} v^{n+1} + C$

Entonces

$\displaystyle 9\int{y \, dy} - \int{y^3 \, dy} = 9\left(\frac{1}{2 }y^2 + C \right) - \left(\frac{1}{4} y^4 + C\right) = \frac{9}{2} y^2 - \frac{1}{4} y^4 + C$

Regresando y reemplazando la variable $y$ por sus límites

$\displaystyle \int_0^3{(9y-y^3 ) \, dy} = \left[\frac{9}{2} y^2 - \frac{1}{4} y^4 + C\right]_0^3$

$\displaystyle = \left[\frac{9}{2} (3)^2 - \frac{1}{4} (3)^4 \right] - \left[\frac{9}{2} (0)^2 - \frac{1}{4} (0)^4 \right]$

$\displaystyle = \frac{81}{2} - \frac{81}{4} - 0 = \frac{81}{4} = 20.25$

Finalmente

$\displaystyle Area = 20.25 u^2$

Significado del signo negativo delante de un área

En la fórmula $\displaystyle \int_a^b{y \, dx}$ , $a$ es menor que $b$ ( $a<b$ ). Puesto que ahora interpretamos el primer miembro como el límite de la suma de $n$ términos que resultan de $y_i \Delta x_i$ con $i = 1, 2, 3, \cdots, n$ , se sigue que cuando $y$ es negativo cada término de esa suma será negativo, y $\displaystyle \int_a^b{y \, dx}$ resultará con signo negativo. Lo anterior significa que el área está debajo del eje de las $x$ .

P1. Calcular el área de una arcada de la sinusoide $y = \sin{x}$ .

Solución.

Realizando una tabulación con la ecuación de la sinusoide y comenzando desde $x=0$ hasta $x=2\pi$ .

tabla4.4.2

figura 4.4.5 — *Figura 4.4.5 Representación gráfica de la función y=sen(x).*

Si se toma el área de una arcada desde $x=0$ hasta $x=\pi$ , tomando la fórmula para determinar el área en el eje $x$ es

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_0^{\pi}{\sin{x} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\sin{x} \, dx} = -\cos{x} + C$

Y reemplazando la variable x por los límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_0^{\pi}{\sin{x} \, dx} = [-\cos{x} + C]_0^{\pi}$

$\displaystyle = [-\cos{\pi} + C] - [-\cos{0} + C] = -(-1) + (1) = 2$

$\displaystyle \therefore A=2 u^2$

Si se toma el área de una arcada desde $x=\pi$ hasta $x=2\pi$ , tomando la fórmula para determinar el área en el eje $x$ es

$\displaystyle Area = \int_a^b{y \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_{\pi}^{2\pi}{\sin{x} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\sin{x} \, dx} = -\cos{x} + C$

Y reemplazando la variable x por los límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}{\sin{x} \, dx} = [-\cos{x} + C]_{\pi}^{2\pi}$

$\displaystyle = [-\cos{2\pi} + C] - [-\cos{\pi} + C] = -(1)+(-1)=-2$

$\displaystyle Area = -2 u^2$

Comparando ambos resultados

Área de la primera arcada (desde 0 hasta )

$\displaystyle \int_0^{\pi}{\sin{x} \, dx} = 2$

Área ubicada por arriba del eje

Área de la segunda arcada (desde hasta 2 )

$\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}{\sin{x} \, dx} = -2$

Área ubicada por debajo del eje

Finalmente, el área de una arcada (sin importar los límites tomados) es

$\displaystyle Area = 2 u^2$

P2. Calcular el área limitada por la curva $x = 3 + \cos{\theta}$ y $y=4 \sin{\theta}$ .

Solución.

Primero se realiza una tabulación con las ecuaciones brindadas desde 0 hasta 2π con incremento de π/6.

tabla4.4.3

Graficando la función, se tiene lo siguiente

figura 4.4.6 — *Figura 4.4.6 Representación gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas por el problema resuelto no. 4.*

Las ecuaciones de la curva están en forma paramétrica, entonces, se toma la siguiente fórmula

$\displaystyle Area = \int_{\theta_1}^{\theta_2)}{\phi (\theta) f' (\theta) \, d\theta}$

Donde

$\displaystyle \phi (\theta) = y$

$\displaystyle \phi (\theta) = 4 \sin{\theta}$

$\displaystyle f(\theta) = x$

$\displaystyle f(\theta) = 4 + \cos{\theta}$

Determinando la primera derivada de $f(\theta)$

$\displaystyle f' (\theta) = -\sin{\theta}$

Y su diferencial es

$\displaystyle \frac{d}{d\theta} f(\theta) = -\sin{\theta}$

La gráfica comienza desde θ=0 y termina hasta θ=2π y se observa que θ varía de derecha a izquierda, por tanto, el área que describe la curva dada será el doble del área comprendida e irá desde 0 hasta π. Entonces

$\displaystyle Area = \int_{\theta_1}^{\theta_2}{\phi (\theta) f' (\theta) \, d\theta}$

$\displaystyle Area = -2\int_0^{\pi}{4 \sin{\theta} (-\sin{\theta}) \, d\theta}$

$\displaystyle Area = 8\int_0^{\pi}{\sin^2{\theta} \, d\theta}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\sin^2{\theta} \, d\theta}$

Por el método de integración trigonométrica para funciones seno de producto de potencias pares, se toma la siguiente fórmula $\displaystyle \sin^2{\theta} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}$

$\displaystyle \int{\sin^2{\theta} \, d\theta} = \int{(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}) \, d\theta} = \frac{1}{2} \int{d\theta} - \frac{1}{2} \int{\cos{2\theta} \, d\theta}$

La primera integral tiene el siguiente resultado

$\displaystyle \int{d\theta} = \theta + C$

Y la segunda integral tiene el siguiente resultado

$\displaystyle \int{\cos{2\theta} \, d\theta} = \frac{1}{2} \sin{2\theta} + C$

Regresando

$\displaystyle \int{\sin^2{\theta} \, d\theta} = \frac{1}{2} (\theta + C) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin{2\theta} + C) = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin{2\theta} + C$

Reemplazando la variable θ por los límites correspondientes, resulta

$\displaystyle 8\int_0^{\pi}{\sin^2{\theta} \, d\theta} = 8 \left[\frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin{2\theta} + C\right]_0^{\pi}$

$\displaystyle = 8[\frac{1}{2} (\pi) - \frac{1}{4} \sin{2\pi} + C] - 8[\frac{1}{2} (0) - \frac{1}{4} \sin{2(0)} + C] = 4\pi$

Finalmente, el área de la curva es

$\displaystyle \therefore Area= 4 \pi$

Área limitada por dos curvas

Considerando la región acotada por las dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ y las dos rectas $x=a$ y $x=b$ y suponiendo que las dos funciones son continuas en el intervalo cerrado $[a,b]$ y que $f(x) \ge g(x$ ) para toda $x$ en $[a,b]$ se tiene la siguiente gráfica (figura 4.4.7 y 4.4.8).

Figura 4.4.7

Figura 4.4.8

Al dividir el intervalo cerrado $[a,b]$ en $n$ subintervalos de la longitud $\Delta x$ cada uno, y trazando un rectángulo representativo de anchura $\Delta x$ y con altura $f(x_i ) - g(x_i )$ , donde $x_i$ está en el i-ésimo subintervalo, se tiene lo siguiente

Figura 4.4.9

Figura 4.4.10

Figura 4.4.11

El área del rectángulo representativo es

$\displaystyle \Delta A = [f(x_i )-g(x_i )] \Delta x$

La suma de las áreas de los n rectángulos en la gráfica es

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}$

Por tanto, el área de la región comprendida ente dos curvas es

$\displaystyle Area = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{[f(x_i )-g(x_i )]\Delta x}}$

$\displaystyle Area = \int_a^b{[f(x)-g(x)] dx}$

Si $f$ y $g$ están por encima del eje $x$ se puede interpretar el área de la región comprendida entre sus gráficas simplemente como el área bajo $f$ menos el área bajo $g$ .

Problemas resueltos

P1. Calcular el área de la región que está acotada por las dos curvas $y=x^2+2$ y $y=-x$ y las dos rectas $x=0$ y $x=1$ .

Solución.

Realizando la tabulación de ambas curvas

Tabulación de la ecuación y=x^2 + 2

Tabulación de la ecuación y=-x

Graficando y localizando el área a determinar

figura 4.4.12 — *Figura 4.4.12 Representación gráfica de las funciones «y=x^2+2» y «y=-x»*

Se tomará $f(x)=x^2+2$ y $g(x)=-x$ , para que se cumpla con la condición $f(x) \ge g(x)$ para toda $x$ en el intervalo cerrado $[0,1]$ .

Aplicando la fórmula para el área entre dos curvas

$\displaystyle Area = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx}$

$\displaystyle Area = \int_0^1{[x^2+2-(-x)] \, dx} = \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(x^2+2+x) \, dx} = \int{x^2 \, dx} + 2\int{dx} + \int{x \, dx}$

$\displaystyle = \frac{1}{3} x^3 + 2x + \frac{1}{2} x^2 + C = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_0^1{(x^2+2+x) \, dx} = \left[\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2x + C\right]_0^1$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{3} (1)^3 + \frac{1}{2} (1)^2 + 2(1) + C\right] - \left[\frac{1}{3} (0)^3 + \frac{1}{2} (0)^2+2(0)+C\right]$

$\displaystyle = \frac{1}{3}+\frac{1}{2} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2.833$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area = 2.833 u^2$

P2. Calcula el área de la región acotada por la recta $f(x)=x$ y la curva $g(x)=2-x^2$ .

Solución.

Para determinar el área, es necesario conocer los límites inferior y superior, para ello, se resolverá las ecuaciones dadas por el problema por el método de igualación, con la finalidad de identificar posibles puntos de intersección, y en base a eso, tomarlos como los límites requeridos, y así, conocer el área de la región acotada.

$f(x) \ge g(x)$

$f(x)=g(x)$

$x=2-x^2$

$x^2+x-2=0$

Resolviendo esto por fórmula general

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$

$x=1$ y $x=-2$

Por tanto, estos valores de $x$ , ayudarán a localizar los puntos de intersección. Realizando la tabulación de ambas funciones

tabla4.4.6

Entonces, los puntos de intersección son $(-2,-2)$ y $(1,1)$ . Graficando las funciones y los puntos de intersección

figura 4.4.13 — *Figura 4.4.13 Representación gráfica de las funciones «f(x)=x» y «g(x)=2-x^2».*

Cuando f(x)≥g(x), la fórmula para calcular el área es

$\displaystyle Area = \int_a^b{[f(x)-g(x)] \, dx}$

Pero como g(x)≥f(x), la fórmula para calcular el área es

$\displaystyle Area = \int_a^b{[g(x)-f(x)] \, dx}$

Sustituyendo

$\displaystyle Area = \int_{-2}^1{[2-x^2-(x)] \, dx} = \int_{-2}^{1}{(2-x^2-x) \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(2-x^2-x) \, dx} = 2\int{dx} - \int{x^2 \, dx} - \int{x \, dx}$

$\displaystyle = 2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes, resulta

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-x^2-x) \, dx} = \left[2x - \frac{1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + C\right]_{-2}^1$

$\displaystyle = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1)^2 + C\right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 + C\right]$

$\displaystyle = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 - \frac{8}{3} + \frac{4}{2} = 6 - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Finalmente

$\displaystyle Area = 4.5 u^2$

3. Calcular el área de la región comprendida entre $x=3-y^2$ y $y=x-1$ .

Solución.

La ecuación $x=3-y^2$ se mantendrá mientras que la segunda $y=x-1$ se despejará la variable $x$ , es decir, será $x=y+1$ . Luego, la condición establecida fue f(x)≥g(x) pero como la variable ahora es $y$ , por tanto, la condición se expresará como f(y)≥g(y). Por tanto, las funciones serán $f(y)=3-y^2$ y $g(y)=y+1$ . Partiendo de la nueva condición, se analizará si existen puntos de intersección.

$\displaystyle f(y) \ge g(y)$

$\displaystyle 3-y^2=y+1$

$\displaystyle -y^2-y+2=0$

$\displaystyle y^2+y-2=0$

$\displaystyle (y+2)(y-1)=0$

Los valores de $y$ son $y=-2$ y $y=1$ . Después, realizando la tabulación para las funciones $f(y)$ y $g(y)$ , resulta

tabla4.4.7

Graficando las funciones

figura 4.4.16 — *Figura 4.4.14 Representación gráfica de las funciones «x=3-y^2» y «y=x-1».*

Observando la gráfica, los resultados de la tabulación y los valores de y calculados en base a la nueva condición, existen sólo dos puntos de intersección, que son $(-2,-1)$ y $(1,2)$ .

El área de la región acotada abarcará desde $y=-2$ hasta $y=1$ . Para este caso, el área se considera en el eje $y$ , por tanto, la fórmula a tomar es

$\displaystyle Area = \int_c^d{[f(y)-g(y)] \, dy}$

$\displaystyle = \int_{-2}^1{[(3-y^2 )-(y+1)] \, dy} = \int_{-2}^1{(3-y^2-y-1) \, dy} = \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(2-y^2-y) \, dy} = 2\int{dy} - \int{y^2 \, dy} - \int{y dy} = 2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C$

Regresando y reemplazando la variable $y$ por sus respectivos límites, resulta

$\displaystyle \int_{-2}^1{(2-y^2-y) \, dy} = \left[2y - \frac{1}{3} y^3 - \frac{1}{2} y^2 + C\right]_{-2}^1$

$\displaystyle = \left[2(1) - \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{2} (1) + C\right] - \left[2(-2) - \frac{1}{3} (-2)^3 - \frac{1}{2} (-2)^2 + C\right]$

$\displaystyle = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 4 -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} = 6 - \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area = 4.5 u^2$

Es necesario aclarar que, por lo general, para determinar el área entre dos curvas hay que aplicar, para rectángulos verticales, la siguiente fórmula (en la variable $x$ ):

$\displaystyle Area = \int_{x_1}^{x_2}{(Curva \, superior-Curva \, inferior) \, dx}$

Para rectángulos horizontales, la siguiente fórmula (en la variable $y$ ):

$\displaystyle Area = \int_{y_1}^{y_2}{(Curva \, a \, la \, derecha - Curva \, a \, la \, izquierda) \, dy}$

Aquí $(x_1,y_1)$ , $(x_2,y_2 )$ son o bien puntos adyacentes de intersección de las curvas o puntos sobre ciertas líneas del contorno.

Área limitada por dos curvas al intersecarse en más de dos puntos

Cuando dos curvas se cortan en más de dos puntos, entonces, para determinar el área de la región comprendida entre ellas, se debe buscar todos los puntos de intersección y comprobar cada intervalo precisado por las curvas cuál de ellas está por encima de la otra.

Problemas resueltos

P1. Calcular el área de la región acotada por las curvas $f(x)=x^3-2x^2+x-1$ y $g(x)=3x-x^2-1$ .

Solución.

Primero se determinan los puntos de intersección de ambas curvas dadas, partiendo de la condición f(x)≥g(x). Entonces

$f(x) = g(x)$

$x^3-2x^2+x-1=3x-x^2-1$

$x^3-2x^2+x-1-3x+x^2+1=0$

$x^3-x^2-2x=0$

$x(x^2-x-2)=0$

$x(x-2)(x+1)=0$

Los valores de $x$ son $x=-1$ , $x=0$ y $x=2$ . Ahora, se realiza la tabulación con las funciones $f(x)$ y $g(x)$ desde $x=-1$ hasta $x=2$ con un incremento de 0.5.

tabla4.4.8

Graficando las funciones $f(x)$ y $g(x)$ y localizando los valores de $x$ obtenidos, resulta lo siguiente

figura 4.4.17 — *Figura 4.4.15 Representación gráfica de las funciones «f(x)=x^3-2x^2+x-1» y «g(x)=3x-x^2-1».*

En el intervalo cerrado $[-1,0]$ , $f(x) \ge g(x)$ mientras que en $[0,2]$ , $g(x) \ge f(x)$ . Luego, se requerirán dos integrales para determinar el área total, por lo que, una parte se calculará un área desde $[-1,0]$ y la otra se calculará desde $[0,2]$ . Para el intervalo $[-1,0]$ , se tomará la fórmula (en el eje $x$ )

$\displaystyle A_1 = \int_a^c{[f(x)-g(x)] \, dx}$

Y para el intervalo $[0,2]$ , la fórmula (en el eje $x$ ) es

$\displaystyle A_2 = \int_c^b{[g(x)-f(x)] \, dx}$

Entonces

$\displaystyle Area=A_1+A_2$

$\displaystyle = \int_a^c{[f(x)-g(x)] \, dx} + \int_c^b{[g(x)-f(x)] \, dx}$

$\displaystyle = \int_{-1}^0{[(x^3-2x^2+x-1)-(3x-x^2-1)] \, dx} + \int_0^2{[(3x-x^2-1)-(x^3-2x^2+x-1)] \, dx}$

$\displaystyle = \int_{-1}^0{(x^3-x^2-2x) \, dx} + \int_0^2{(-x^3+x^2+2x) \, dx}$

$\displaystyle = \left[\frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{3} x^3 - x^2 \right]_{-1}^0 + \left[-\frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{3} x^3 + x^2 \right]_0^2$

$\displaystyle = \left\{\left[\frac{1}{4} (0)^4 - \frac{1}{3} (0)^3 - (0)^2 \right] - \left[\frac{1}{4} (-1)^4 - \frac{1}{3} (-1)^3 - (-1)^2 \right]\right\} + \left\{\left[-\frac{1}{4} (2)^4 + \frac{1}{3} (2)^3 + (2)^2 \right] - \left[-\frac{1}{4} (0)^4 + \frac{1}{3} (0)^3 + (0)^2 \right]\right\}$

$\displaystyle = \left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1\right)+\left(-\frac{16}{4}+\frac{8}{3}+4\right) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 + \frac{8}{3} = \frac{37}{12}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore Area = \frac{37}{12} \approx 3.083 u^2$

Obtención de área planas por integración cuando la diferencial de área es una función cartesiana. Cálculo integral.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Obtención de área planas por integración cuando la diferencial de área es una función cartesiana. Cálculo integral.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta