Obtención de volúmenes de sección transversal. Cálculo integral.

Áreas de superficies de revolución

La superficie de revolución se genera al hacer girar el arco $CD$ de la curva $y=f(x)$ alrededor del eje $x$ , como se observa en la figura 4.7.1. Si se quiere medir el área de dicha superficie, se utiliza el teorema fundamental del cálculo integral.

Primer paso. Se divide el intervalo $AB$ en subintervalos $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , etc., y se levantan ordenadas en los puntos de división. Se trazan las cuerdas $CE$ , $EF$ , etc., de la curva. Cuando la curva gira, cada cuerda engendra la superficie lateral de un tronco de cono de revolución. El área de la superficie de revolución se define como el límite de la suma de las áreas laterales de dichos conos truncados.

Segundo paso. Para hablar con claridad, se traza un primer tronco de cono en tamaño más grande (figura 4.7.2). Si $M$ es el punto medio de la cuerda $CE$ , entonces

$Area \, \, lateral = 2\pi (NM)(CE)$

Aquí, el área lateral de un tronco de cono de revolución es igual a la circunferencia de la sección media multiplicada por el lado del tronco.

Para aplicar el teorema fundamental del cálculo integral, es necesario expresar este producto como función de la abscisa de algún punto del intervalo medio, obteniendo la longitud de la curva $CE$ , es decir

$\displaystyle CE = \sqrt{1+[f' (x_1 )]^2} \Delta x_1$

Aquí $x_1$ es la abscisa del punto $P_1 (x_1,y_1 )$ , del arco $CE$ , donde la tangente es paralela a la cuerda $CE$ . Sea $R$ el punto en que la recta horizontal trazada por $M$ corta $QP_1 (y_1)$ , y designando a $RP_1 = \xi_1$ , entonces

$NM = y_1 - \xi_1$

Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en la ecuación del área lateral, se tiene lo siguiente para el primer tronco de cono

$Area \, \, lateral = 2\pi (NM)(CE)$

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi (y_1-\xi_1 )(\sqrt{1+[f' (x_1 )]^2} \Delta x_1 )$

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi(y_1-\xi_1 ) \sqrt{1+[f' (x_1 )]^2 } \Delta x_1$

De la misma manera para el segundo tronco de cono

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi (y_2-\xi_2 )(\sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_2 )$

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi(y_2-\Delta_2 ) \sqrt{1+[f' (x_2 )]^2} \Delta x_2$

Y para n-ésimo tronco de cono

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi(y_n-\xi_n )(\sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_n )$

$\displaystyle Area \, \, lateral = 2\pi (y_n-\xi_n ) \sqrt{1+[f' (x_n )]^2} \Delta x_n$

Por tanto, la suma de las áreas laterales de los conos truncados se escribe

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{2\pi (y_i-\xi_i) \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i} = \sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i } - \sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}$

Tercer paso. Empleando los límites $OA=a$ y $OB=b$ , y aplicando el teorema fundamental del cálculo integral en la siguiente suma

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\left[\sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i } - \sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i}\right]}$

$\displaystyle = \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi y_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i }} - \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{2\pi \xi_i \sqrt{1+[f' (x_i )]^2} \Delta x_i }}$

$\displaystyle = \int_a^b{2\pi y\sqrt{1+[f' (x)]^2} \, dx} + 0 = 2\pi \int_a^b{y \sqrt{(1+[f' (x)]^2} \, dx}$

El área de la superficie de revolución engendrada al hacer girar el arco $CD$ alrededor del eje $x$ viene dada por la fórmula

$\displaystyle S_x = 2\pi \int_a^b{y\sqrt{1+[f' (x)]^2} \, dx} = 2\pi \int_a^b{y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx}$

Donde $S_x$ representa el área buscada en el eje $x$ .

La fórmula anterior también se puede escribir así

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds}$

Cuando el eje $y$ es el de giro, se emplea la fórmula

$\displaystyle S_y = 2\pi \int_c^d{x \sqrt{1+[\phi' (y)]^2} \, dy} = 2\pi \int_c^d{x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} \, dy}$

O también

$\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$

Para las fórmulas $\displaystyle S=2\pi \int_a^b{y \, ds}$ y $\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$ , $ds$ puede tomar cualquiera de las tres siguientes formas:

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx = \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} \, dy = \sqrt{{dx}^2+{dy}^2}$

De las tres formas anteriores, se puede emplear la primera o la segunda, según sea la variable independiente que se elija; la tercera, se usará solo si la curva dada está definida por ecuaciones paramétricas. Para utilizar cualquiera de las fórmulas con el fin de poder determinar el área de las superficies de revolución, es necesario calcular primeramente el valor de $ds$ .

Problemas resueltos

P1. El arco de la parábola cúbica $9y=x^3$ , comprendido entre $x=0$ y $x=2$ , gira alrededor del eje $x$ . Hallar el área de la superficie de revolución que se engendra.

Solución.

Se despeja la variable $y$ de la ecuación de la parábola cúbica.

$9y=x^3$

$\displaystyle y = \frac{x^3}{9}$

Derivando una vez con respecto a $x$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{9} x^2 = \frac{1}{3} x^2$

Determinando $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \, dx = \sqrt{1+(\frac{1}{3} x^2 )^2} \, dx = \sqrt{1 + \frac{1}{9} x^4} \, dx$

Sustituyendo en la fórmula del área, resulta

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds} = 2\pi \int_0^2{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx}$

Aplicando el método de sustitución

$\displaystyle v = 1 + \frac{1}{9} x^4$

$\displaystyle dv = \frac{4}{9} x^3 \, dx \rightarrow \frac{dv}{4} = \frac{1}{9} x^3 dx = \frac{x^3}{9} \, dx$

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{x^3}{9}\sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = \int{\sqrt{v} \, \frac{dv}{4}} = \frac{1}{4} \int{\sqrt{v} \, dv}$

$\displaystyle = \frac{1}{4} \int{v^{\frac{1}{2}} \, dv} = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{3} v^{\frac{3}{2}} + C\right) = \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{1}{9} x^4 \right)^{\frac{3}{2}} + C$

Regresando, sustituyendo el resultado y remplazando la variable $x$ por los límites, resulta

$\displaystyle S = 2\pi \int_0^2{x^{\frac{3}{9}} \sqrt{1+\frac{1}{9} x^4} \, dx} = 2\pi \left[\frac{1}{6} (1+\frac{1}{9} x^4 )^{\frac{3}{2}} + C\right]_0^2$

$\displaystyle = 2\pi \left[\frac{1}{6} (1+\frac{1}{9} (2)^4 )^\frac{3}{2}+C\right] - 2\pi \left[\frac{1}{6} (1+\frac{1}{9} (0)^4 )^{\frac{3}{2}} + C\right]$

$\displaystyle = 2\pi \left[\frac{1}{6} (\frac{25}{9})^{\frac{3}{2}} \right] - 2\pi \left[\frac{1}{6} (1)^{\frac{3}{2}} \right] \approx 3.801$

Finalmente

$S=3.801 u^2$

P2. Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al hacer girar la cicloide cuyas ecuaciones paramétricas son $x=a(\theta - \sin{\theta})$ y $y=a(1-\cos{\theta})$ alrededor del eje $x$ .

Solución.

Graficando la función en base a las ecuaciones paramétricas (en donde se considera que $a=1$ )

Se toma la fórmula para determinar el área de la superficie de revolución

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds}$

Después, se determinan las diferenciales de cada ecuación paramétrica

$\displaystyle x = a(\theta - \sin{\theta})$

$\displaystyle dx = a(1 - \cos{\theta}) \, d\theta$

$\displaystyle y = a(1 - \cos{\theta})$

$\displaystyle dy = a \sin{\theta} \, d\theta$

Luego, se determina el valor de $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

$\displaystyle ds = \sqrt{[a(1-\cos{\theta}) \, d\theta]^2 + (a \sin{\theta} \, d\theta)^2} = \sqrt{a^2 (1 - \cos{\theta})^2+a^2 \sin^2{\theta}} \, d\theta$

$\displaystyle ds = \sqrt{a^2 (1-2 \cos{\theta} + \cos^2{\theta})+a^2 \sin^2{\theta}} d\theta$

$\displaystyle ds = \sqrt{a^2 - 2a^2 \cos{\theta} + a^2 \cos^2{\theta} + a^2 \sin^2{\theta}} \, d\theta = \sqrt{a^2-2a^2 \cos{\theta}+a^2} \, d\theta$

$\displaystyle = \sqrt{2a^2-2a^2 \cos{\theta}} d\theta = \sqrt{2a^2 (1-\cos{\theta})} \, d\theta= a \sqrt{2} \sqrt{1-\cos{\theta}} \, d\theta$

Sustituyendo

$\displaystyle S = 2\pi \int_a^b{y \, ds} = 2\pi \int_0^{2\pi}{a(1-\cos{\theta}) a\sqrt{2} \sqrt{1-\cos{\theta}} \, d\theta}$

$\displaystyle = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-cos{\theta} ) \sqrt{1-\cos{\theta}} d\theta} = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-\cos{\theta})^{\frac{3}{2}} \, d\theta}$

Recordando la identidad trigonométrica

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{2\theta}$

Haciendo que θ cambie a θ/2 en el primer miembro, resulta

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{\theta}$

Despejando el término $1 - \cos{\theta}$

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{\theta}$

$\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2} (1-\cos{\theta})$

$\displaystyle 2 \sin^2{\frac{\theta}{2}} = 1 - \cos{\theta}$

Entonces, aplicando esto en la integral, se tiene lo siguiente

$\displaystyle S = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(1-\cos{\theta})^{\frac{3}{2}} \, d\theta} = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{(2 \sin^2{\frac{\theta}{2}})^{\frac{3}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle = 2\sqrt{2} \pi a^2 \int_0^{2 \pi}{(2)^{\frac{3}{2}} \sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = 2\sqrt{2} (2)^{\frac{3}{2}} \pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = 8\pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

Por el método de integración para productos de potencias impares de senos y cosenos (caso 1), resulta

$\displaystyle \int{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \int{\sin^2{\frac{\theta}{2}} \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = \int{(1-\cos^2{\frac{\theta}{2}}) \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta}$

$\displaystyle = \int{\sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} - \int{\cos^2{\frac{\theta}{2}} \cdot \sin{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = -2 \cos{\frac{\theta}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{\theta}{2}} + C$

Regresando y reemplazando la variable por sus respectivos límites, se tiene que

$\displaystyle S = 8\pi a^2 \int_0^{2\pi}{\sin^3{\frac{\theta}{2}} \, d\theta} = 8\pi a^2 \left[-2 \cos{\frac{\theta}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{\theta}{2}} + C\right]_0^{2\pi}$

$\displaystyle = 8 \pi a^2 \left[-2 \cos{\frac{2\pi}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{2\pi}{2}} \right] - 8\pi a^2 \left[-2 \cos{\frac{0}{2}} + \frac{2}{3} \cos^3{\frac{0}{2}} \right]$

$\displaystyle = 8\pi a^2 \left[-2 \cos{\pi} + \frac{2}{3} \cos^3{\pi} \right] - 8\pi a^2 \left[- 2 \cos{0} + \frac{2}{3} \cos^3{0} \right]$

$\displaystyle = 8\pi a^2 \left[-2(-1)+\frac{2}{3} {(-1)}^3 \right] - 8\pi a^2 \left[-2(1)+\frac{2}{3} {(1)}^3 \right]$

$\displaystyle = 8\pi a^2 (2-\frac{2}{3})-8\pi a^2 (-2+\frac{2}{3}) = 8\pi a^2 (\frac{4}{3})-8\pi a^2 (-\frac{4}{3})$

$\displaystyle = \frac{32}{3} \pi a^2+\frac{32}{3} \pi a^2 = \frac{64}{3} \pi a^2$

Finalmente

$\displaystyle S = \frac{64}{3} \pi a^2 \, u^2$

P3. Calcular el área de la superficie que se engendra cuando el arco de la parábola $y=x^2$ , desde $y=0$ a $y=2$ , gira alrededor del eje $y$ .

Solución.

El enunciado menciona que el arco de la parábola gira alrededor del eje $y$ , entonces, se utilizará la siguiente fórmula

$\displaystyle S = 2\pi \int_c^d{x \, ds}$

Despejando la variable $x$ de la ecuación del arco de la parábola

$y=x^2$

$\displaystyle \pm \sqrt{y} = x$

$\displaystyle x = \pm \sqrt{y}$

$\displaystyle x = \sqrt{y}$

Determinando la primera derivada

$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$

Después, se calcula $ds$

$\displaystyle ds = \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} dy = \sqrt{1+(\frac{1}{2\sqrt{y}})^2} dy = \sqrt{1+\frac{1}{4y}} \, dy = \frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}} \, dy$

Sustituyendo en la fórmula

$\displaystyle S = 2\pi\int_c^d{x \, ds} = 2\pi \int_0^2{\sqrt{y} \frac{\sqrt{4y+1}}{2\sqrt{y}} dy}= \pi\int_0^2{\sqrt{4y+1} \, dy}$

$\displaystyle = \pi \left[\frac{1}{6} (4y+1)^{\frac{3}{2}} + C\right]_0^2 = \pi \left[\frac{1}{6} (4(2)+1)^{\frac{3}{2}} \right] - \pi \left[\frac{1}{6} (4(0)+1)^{\frac{3}{2}} \right]$

$\displaystyle = \pi \left[\frac{1}{6} (9)^{\frac{3}{2}} \right] - \pi \left[\frac{1}{6} (1)^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{27}{6} \pi - \frac{1}{6} \pi = \frac{26}{6} \pi = \frac{13}{3} \pi$

Finalmente

$\displaystyle \therefore S = \frac{13}{3} \pi \, u^2$

Volúmenes de sección transversal

Considerando la figura 3, todas las secciones transversales por planos perpendiculares al eje x son círculos. Si $OM=x$ y $MB=y$ , entonces el área de la sección transversal $ABCD = \pi y^2 = \pi [\phi (x)]^2$ , si $y=\phi (x)$ es la ecuación de la curva engendradora $OBF$ . Por tanto, el área de la sección transversal por cualquier plano perpendicular a $OX$ es u función de su distancia $(=x)$ al punto $O$ .

Siempre que sea posible expresar el área de una sección cualquier del sólido, que sea perpendicular a una recta fija (como el eje $x$ ). Se hará como una función de su distancia a un punto fijo (como el origen $O$ ).

Se divide el sólido en $n$ rebanadas, cada una de espesor $\Delta x$ , por secciones equidistantes perpendiculares al eje $x$ . Sea $EDF$ una cara de una de las rebanadas y sea $ON=x$ (figura 4.7.4), por hipótesis

$\displaystyle Area = EDF = A(x)$

El volumen de esta rebanada es igual, aproximadamente, a:

$\displaystyle Area(EDF) \Delta x = A(x) \Delta x (base \times altura)$

Entonces

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{A(x_i ) \Delta x_i}$

representa la suma de los volúmenes de todos esos prismas.

Es cierto que el volumen pedido es el límite de esta suma; por tanto, y de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo integral, se tiene que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^n{A(x_i ) \Delta x_i} } = \int_{\alpha}^{\beta}{A(x) \, dx}$

Por tanto, resulta

$\displaystyle V = \int_{\alpha}^{\beta}{A(x) \, dx}$

El elemento de volumen es un prisma (otras veces es un cilindro) cuya altura es $dx$ y cuya base tiene como área $A(x)$ . Es decir, $dv=A(x) \, dx$ .

Si las secciones son perpendiculares al eje $y$ , el volumen viene dado por

$\displaystyle V = \int_{\gamma}^{\eta}{A(y) \, dy}$

Donde $A(y)$ es el área de la sección en $y$ .

Problemas resueltos

P1. La base de un sólido es un círculo de 5 cm de radio. Todas las secciones perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Calcular el volumen del sólido.

Solución.

Siendo la base del círculo $x^2+y^2=5^2=25$ en el plano $xy$ y $OX$ el diámetro fijo (figura 4.7.6). Con base en el enunciado la sección $PSRQ$ perpendicular a $OX$ es un cuadrado, cuya área es $4y^2$ , si $PQ=2y$ . De la ecuación $x^2+y^2=25$ , se tiene que $y^2=25-x^2$ ; el área de la sección $PSRQ$ que se representa como $A(x)$ es igual a $4y^2$ , es decir, $4(25-x^2 )$ .

Aplicando la fórmula de volumen

$\displaystyle V = \int_{\alpha}^{\beta}{A(x) \, dx} = \int_{-5}^5{4(25-x^2 ) \, dx} = 4\int_{-5}^5{(25-x^2) \, dx}$

$\displaystyle = 4 \left[ 25x - \frac{1}{3} x^3+C \right]_{-5}^5 = 4 \left[ 25(5) - \frac{1}{3} (5)^3 + C\right] - 4 \left[ 25(-5) - \frac{1}{3} {(-5)}^3+C \right]$

$\displaystyle = 4(125-\frac{125}{3})-4(-125+\frac{125}{3}) = \frac{2000}{3}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V =\frac{2000}{3} \, {(cm)}^3$

P2. Calcular el volumen de un conoide recto de 12 cm de altura ( $h$ ), cuya base es el círculo $x^2+y^2=8x$ de 4 cm de radio ( $r$ ).

Solución.

En base a la figura 4.7.7, se considera la sección $PQR$ es perpendicular al eje $OX$ ; dicha sección es un triángulo isósceles, donde $RM=y$ , es decir:

$\displaystyle RM = \sqrt{8x-x^2}$

Dicho valor se obtiene de la ecuación $x^2+y^2=8x$ que representa la circunferencia $ORAQ$ .

En la sección $PQR$ se observa que la base

$\displaystyle RQ = 2y = 2\sqrt{8x-x^2}$

Y la altura

$\displaystyle MP = h = 12 cm$

Entonces el área de dicha sección es

$\displaystyle A(x) = \frac{base \times altura}{2} = \frac{2\sqrt{8x-x^2} \times 12}{2} = 12\sqrt{8x-x^2}$

Aplicando la fórmula de volumen

$\displaystyle V = \int_{\alpha}^{\beta}{A(x) \, dx} = \int_0^{2r}{12 \sqrt{8x-x^2} \, dx}$

$\displaystyle = \int_0^{2(4)}{12 \sqrt{8x-x^2} \, dx} = \int_0^8{12\sqrt{8x-x^2} \, dx}$

Resolviendo la integral aplicando el método de integración por sustitución algebraica, resulta

$\displaystyle \int{12 \sqrt{8x-x^2} \, dx} = 12 \int{\sqrt{8x-x^2} \, dx}$

$\displaystyle = 12 \int{\sqrt{-(x^2-8x)} \, dx} = 12 \int{\sqrt{-(x^2-8x+16-16)} \, dx}$

$\displaystyle = 12 \int{\sqrt{16-(x^2-8x+16)} \, dx} = 12 \int{\sqrt{16-(x-4)^2} \, dx}$

$\displaystyle = 12 \left[ (\frac{x-4}{2}) \sqrt{16-(x-4)^2} + \frac{16}{2} \arcsin{(\frac{x-4}{4})} + C \right]$

$\displaystyle = 12 \left[ (\frac{x-4}{2}) \sqrt{16-(x-4)^2} + 8 \arcsin{(\frac{x-4}{4})} + C\right]$

Regresando, sustituyendo y reemplazando la variable $x$ por sus límites correspondientes

$\displaystyle V = \int_0^8{12 \sqrt{8x-x^2} \, dx} = 12 \left[(\frac{x-4}{2}) \sqrt{16-(x-4)^2} + 8 \arcsin{(\frac{x-4}{4})} + C\right]_0^8$

$\displaystyle = 12 \left[ (\frac{4}{2}) \sqrt{16-(4)^2} + 8 \arcsin{(\frac{4}{4})} \right] - 12 \left[ (\frac{-4}{2}) \sqrt{16-(-4)^2} + 8 \arcsin{(\frac{-4}{4})} \right]$

$\displaystyle = 12 \left[ 2\sqrt{16-16} + 8 \arcsin{(1)} \right] - 12\left[-2\sqrt{16-16} + 8 \arcsin{(-1)} \right]$

$= 12(4\pi) - 12(-4\pi)$

$\displaystyle = 48\pi + 48\pi = 96\pi$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V = 96\pi {cm}^3$

Nota: Se debe comprobar que el volumen del conoide debe ser la mitad del volumen del cilindro de las mismas base y altura.

P3. La base de un sólido tiene la forma de una elipse con el eje mayor de 20 cm y eje menor de 10 cm. Calcular el volumen del sólido si cada sección perpendicular al eje mayor es un triángulo equilátero.

Solución.

En la figura 4.7.8, se observa la elipse y todo lo mencionado del problema; sea $2a$ la longitud del eje mayor, cuyo valor es de 20 cm, por lo que se deduce que $a=10$ ; de igual manera, sea $2b$ la longitud del eje menor, cuyo valor es de 10 cm, por lo que $b=5$ .

La ecuación de la elipse es

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$

Es decir

$\displaystyle \frac{x^2}{10^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$

$\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$

Despejando $y$

$\displaystyle \frac{y^2}{25} = 1 - \frac{x^2}{100}$

$\displaystyle y^2 = 25(1 - \frac{x^2}{100}) = \frac{25}{100} (100-x^2 )$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{25}{100} (100-x^2 )} = \frac{5}{10} \sqrt{100-x^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100-x^2}$

La sección $ABC$ del sólido es un triángulo equilátero de lado $2y$ y altura $\sqrt{3} y$ (la altura se obtuvo por el teorema de Pitágoras). El área del triángulo es

$\displaystyle A(x) = \frac{base \times altura}{2}$

$\displaystyle A(x) = \frac{2y \times \sqrt{3} y}{2} = \sqrt{3} y^2$

Por tanto, el área de la sección $ABC$ es

$\displaystyle A(x) = \sqrt{3} (\frac{1}{2} \sqrt{100-x^2})^2 = \sqrt{3} (\frac{1}{4})(100 - x^2) = \frac{\sqrt{3}}{4} (100-x^2 )$

Aplicando la fórmula del volumen

$\displaystyle V = \int_{\alpha}^{\beta}{A(x) \, dx} = \int_{-10}^{10}{\frac{\sqrt{3}}{4} (100-x^2) \, dx} = \frac{\sqrt{3}{4}} \int_{-10}^{10}{(100-x^2) \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[100x-\frac{1}{3} x^3+C\right]_{-10}^10 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[100(10)-\frac{1}{3} (10)^3+C\right] - \frac{\sqrt{3}}{4} \left[100(-10)-\frac{1}{3} {(-10)}^3+C \right]$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[1000-\frac{1}{3} (1000)\right]-\frac{\sqrt{3}}{4} \left[-1000+\frac{1}{3} (1000)\right]$

$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[1000-\frac{1000}{3}\right] - \frac{\sqrt{3}}{4} \left[-1000+\frac{1000}{3}\right] = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{2000}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4} (-\frac{2000}{3})$

$\displaystyle = \frac{1000\sqrt{3}}{3} \approx 577.35$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V = \frac{1000 \sqrt{3}}{3} \approx 577.35 cm^3$

Obtención de volúmenes de sección transversal. Cálculo integral.

Áreas de superficies de revolución

Problemas resueltos

Volúmenes de sección transversal

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