Expansión en serie de Fourier de una función en un intervalo finito. Fourier.

Introducción

Una función $f(t)$ no periódica, definida en cierto intervalo finito $(0, \, \tau)$ , se puede desarrollar en una serie de Fourier, la cual está definida solamente en el intervalo $(0, \, \tau)$ . Es posible desarrollar $f(t)$ en una serie de Fourier con cualquier frecuencia fundamental deseada; demás $f(t)$ se puede representar por una serie de términos del seno o coseno solamente, lo cual se puede hacer construyendo una función periódica adecuada que sea idéntica a $f(t)$ en el intervalo $(, \, \tau)$ , y que satisfaga las condiciones de simetría que conduzcan a la forma deseada de las series de Fourier.

Expansiones de medio corrido

Sea $f(t)$ una función de período $T=2\tau$ . Si $f(t)$ es par, entonces, la serie de Fourier tendrá términos del coseno.

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{\left(\frac{n \pi}{\tau}t \right)} }$

donde $a_n$ es

$\displaystyle a_n = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \cos{\frac{n\pi}{\tau} t} \, dt}$

Si $f(t)$ es impar, entonces, la serie de Fourier tendrá términos del seno

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{\left( \frac{n \pi}{\tau} \right)}}$

donde $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \sin{\frac{n\pi}{\tau} t} \, dt}$

Estas series de Fourier, ambas representan la misma función $f(t)$ dada, en el intervalo $(0, \, \tau)$ , fuera de este intervalo, la serie de Fourier donde tendrá términos del coseno representará la extensión periódica par de $f(t)$ , con período $T=2\tau$ , y la serie de Fourier donde tendrá solo términos del seno representará la extensión impar de $f(t)$ , con período $T=2\tau$ . Las series que contienen los coeficientes $a_n$ y $b_n$ se denominan expansiones de medio recorrido de la función $f(t)$ dada.

Problemas resueltos

Problema 1. Dada la función (figura 8)

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} 0 \quad \text{para} \quad 0 < t < \frac{1}{2} \pi \\1 \quad \text{para} \quad \frac{1}{2} \pi < t < \pi \end{matrix} \right.$

desarrollar $f(t)$ en una serie de Fourier de términos del coseno y trazar la correspondiente extensión periódica de $f(t)$ .

Figura 2.3.2 — *Figura 8. Representación gráfica de la función del problema 1.*

Solución. Se elabora una gráfica que represente la extensión periódica par de $f(t)$ .

Figura 2.3.3 — *Figura 9. Representación gráfica de la extensión periódica par de «f(t)».*

Como $f(t)$ se extiende a una función par, $b_n = 0$ . Cuando $n = 1,2,3,4, \cdots$ , el valor de $a_n$ es

$\displaystyle a_n = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \cos{\frac{n\pi}{\tau} t} \, dt}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2}{(0) \cos{\frac{n\pi}{\pi} t} \, dt} + \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{(1) \cos{\frac{n\pi}{\pi} t} \, dt}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{\cos{n t} \, dt} = \frac{2}{\pi} \left[\frac{1}{n} \sin{nt} +C \right]_{\pi/2}^{\pi}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{\pi} \left[\frac{1}{n} \sin{n \pi} - \frac{1}{n} \sin{n (\frac{\pi}{2})} \right]$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} \sin{n \pi} - \frac{2}{n \pi} \sin{\frac{n\pi}{2}}$

Si $n =1, 5, 9, \cdots$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} \sin{n \pi} - \frac{2}{n \pi} \sin{\frac{n\pi}{2}}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} (0) - \frac{2}{n \pi} (1)$

$\displaystyle a_n = - \frac{2}{n \pi}$

Si $n = 2, 4, 6, \cdots$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} \sin{n \pi} - \frac{2}{n \pi} \sin{\frac{n\pi}{2}}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} (0) - \frac{2}{n \pi} (0)$

$\displaystyle a_n = 0$

Si $n =3, 7, 11, \cdots$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} \sin{n \pi} - \frac{2}{n \pi} \sin{\frac{n\pi}{2}}$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi} (0) - \frac{2}{n \pi} (-1)$

$\displaystyle a_n = \frac{2}{n \pi}$

Entonces, $a_n$ es

$\displaystyle \large a_n = \left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{n \pi} \quad \quad n=1,5,9, \cdots \\ 0 \quad \quad n=2,4,6,\cdots \\ \frac{2}{n \pi} \quad \quad n=3,7,11, \cdots \end{matrix} \right.$

Cuando $n = 0$ , el valor de $a_n$ es

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \, dt}$

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi/2}{(0) \, dt} + \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{(1) \, dt}$

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{dt} = \frac{2}{\pi} \left[t +C \right]_{\pi/2}^{\pi}$

$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi} \left[\pi - \frac{\pi}{2} \right] = \frac{2}{\pi} \left(\frac{\pi}{2} \right) = 1$

Entonces, $a_0$ es

$a_0 = 1$

Finalmente, la serie de Fourier esperado es

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \cos{\left(\frac{n \pi}{\tau} t \right)}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} (1) + \sum_{n=1, 5, 9, \cdots}^{\infty}{(-\frac{2}{n \pi}) \cos{\left(\frac{n \pi}{\pi} t \right)}} + \sum_{n=3, 7, 11, \cdots}^{\infty}{(\frac{2}{n \pi}) \cos{\left(\frac{n \pi}{\pi} t \right)}}$

$\displaystyle \therefore f(t) = \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1, 5, 9, \cdots}^{\infty}{\frac{1}{n} \cos{n t}} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=3, 7, 11, \cdots}^{\infty}{\frac{1}{n} \cos{n t}}$

Problema 2. Desarrollar $f(t)$ definida por (figura 10)

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} 0 \quad \text{para} \quad 0 < t < \frac{1}{2} \pi \\1 \quad \text{para} \quad \frac{1}{2} \pi < t < \pi \end{matrix} \right.$

en una serie de Fourier expresada en términos del seno y trazar la gráfica correspondiente extensión periódica de $f(t)$ .

Solución. Se elabora una gráfica que represente la extensión periódica impar de $f(t)$ .

Figura 2.3.4 — *Figura 11. Representación gráfica de la extensión periódica impar de «f(t)».*

Como $f(t)$ es una función impar, $a_n = 0$ . El valor de $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \sin{\frac{n\pi}{\tau} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}{f(t) \sin{\frac{n\pi}{\pi} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{f(t) \sin{n t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi/2}{(0) \sin{n t} \, dt} + \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{(1) \sin{n t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \int_{\pi/2}^{\pi}{\sin{n t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \left[- \frac{1}{n} \cos{n t} + C \right]_{\pi/2}^{\pi}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \left[- \frac{1}{n} \cos{n \pi} + \frac{1}{n} \cos{n (\frac{\pi}{2})} \right]$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\pi} \left(- \frac{1}{n} \cos{n \pi} + \frac{1}{n} \cos{\frac{n\pi}{2}} \right) = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n} \left(-\cos{n \pi} + \cos{\frac{n\pi}{2}} \right)$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left(-\cos{n \pi} + \cos{\frac{n\pi}{2}} \right)$

Si $n=1,3,5,\cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left(-\cos{n \pi} + \cos{\frac{n\pi}{2}} \right)$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left[-(-1) + (0) \right] = \frac{2}{n \pi} (1)$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi}$

Si $n=2,6,10, \cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left(-\cos{n \pi} + \cos{\frac{n\pi}{2}} \right)$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left[-(1) + (-1) \right] = \frac{2}{n \pi} (-2)$

$\displaystyle b_n = - \frac{4}{n \pi}$

Si $n=4,8,12, \cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left(-\cos{n \pi} + \cos{\frac{n\pi}{2}} \right)$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{n \pi} \left[-(1) + (1) \right] = \frac{2}{n \pi} (0)$

$\displaystyle b_n = 0$

Entonces, $b_n$ es

$\displaystyle \large b_n = \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{n \pi} \quad \quad n=1,3,5, \cdots \\ - \frac{4}{n \pi} \quad \quad n=2,6,10,\cdots \\ 0 \quad \quad n=4,8,12, \cdots \end{matrix} \right.$

Finalmente, la serie de Fourier esperado es

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{\left(\frac{n \pi}{\tau} t \right)}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{\left(\frac{n \pi}{\pi} t \right)}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{n t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty}{\frac{2}{n \pi} \sin{n t}} + \sum_{n=2,6,10,\cdots}^{\infty}{(- \frac{4}{n \pi}) \sin{n t}} + \sum_{n=4,8,12,\cdots}^{\infty}{0 \sin{n t}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\cdots}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{n t}} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=2,6,10,\cdots}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{n t}}$

Problema 3. Dada la función (figura 12)

$\displaystyle \large f(t) = \left\{ \begin{matrix} \frac{2k}{l} \quad \quad \quad \quad \text{para} \quad 0 < t < \frac{1}{2} l \\\frac{2k}{l} (l - t) \quad \text{para} \quad \frac{1}{2} l < t < l \end{matrix} \right.$

Figura 2.3.5 — *Figura 12. Representación gráfica de la función del problema 3.*

desarrollar $f(t)$ en una serie de Fourier en términos del seno.

Solución. Se elabora una gráfica que represente la extensión periódica impar de $f(t)$ .

Figura 2.3.6 — *Figura 13. Representación gráfica de la extensión periódica impar de la función «f(t)».*

Como $f(t)$ es una función impar, $a_n = 0$ . El valor de $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{2}{\tau} \int_{0}^{\tau}{f(t) \sin{\frac{n\pi}{\tau} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l}{f(t) \sin{\frac{n\pi}{l} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l/2}{\frac{2k}{l} t \sin{\frac{n\pi}{l} t} \, dt} + \frac{2}{l} \int_{l/2}^{l}{\frac{2k}{l} (l - t) \sin{\frac{n\pi}{l} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{4k}{l^2} \int_{0}^{l/2}{t \sin{\frac{n\pi}{l} t} \, dt} + \frac{4k}{l^2} \int_{l/2}^{l}{(l - t) \sin{\frac{n\pi}{l} t} \, dt}$

$\displaystyle b_n = \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{l}{n \pi} t \cos{\frac{n\pi}{l} t} + \left(\frac{l}{n\pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} t} + C \right]_{0}^{l/2} + \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{1}{n \pi} (l - t) \cos{\frac{n\pi}{l} t} - \left(\frac{l}{n \pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} t} + C \right]_{l/2}^{l}$

$\displaystyle b_n = \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{l}{n \pi} \left(\frac{l}{2} \right) \cos{\frac{n\pi}{l} \left(\frac{l}{2} \right)} + \left(\frac{l}{n\pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} \left(\frac{l}{2} \right)} + \frac{l}{n \pi} (0) \cos{\frac{n\pi}{l} (0)} - \left(\frac{l}{n\pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} (0)} \right]$

$\displaystyle + \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{l}{n \pi} (l - l) \cos{\frac{n\pi}{l} (l)} - \left(\frac{l}{n \pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} (l)} + \frac{l}{n \pi} \left(l - \frac{l}{2} \right) \cos{\frac{n\pi}{l} \left(\frac{l}{2} \right)} + \left(\frac{l}{n \pi} \right)^2 \sin{\frac{n\pi}{l} \left(\frac{l}{2} \right)} \right]$

$\displaystyle b_n = \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{l}{n \pi} \left(\frac{l}{2} \right) \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{l^2}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} \right] + \frac{4k}{l^2} \left[-\frac{l}{n \pi} (0) \cos{n\pi} - \frac{l^2}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi} + \frac{l}{n \pi} \left(\frac{l}{2} \right) \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{l^2}{n^2 \pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} \right]$

$\displaystyle b_n = \frac{4k}{l^2} \left(-\frac{l^2}{2n \pi} \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{l^2}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} \right) + \frac{4k}{l^2} \left(- \frac{l^2}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi} + \frac{l^2}{2n \pi} \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{l^2}{n^2 \pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} \right)$

$\displaystyle b_n = - \frac{2k}{n \pi} \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{4k}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} - \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi} + \frac{2k}{n \pi} \cos{\frac{n\pi}{2}} + \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}}$

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} - \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi}$

Si $n=1,5,9, \cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} - \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi}$

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} (1) - \frac{4k}{n^2 \pi^2} (0)$

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2}$

Si $n=3,7,11, \cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} - \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi}$

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} (-1) - \frac{4k}{n^2 \pi^2} (0)$

$\displaystyle b_n = - \frac{8k}{n^2\pi^2}$

Si $n=2,4,6, \cdots$ , $b_n$ es

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} \sin{\frac{n\pi}{2}} - \frac{4k}{n^2 \pi^2} \sin{n\pi}$

$\displaystyle b_n = \frac{8k}{n^2\pi^2} (0) - \frac{4k}{n^2 \pi^2} (0)$

$\displaystyle b_n = 0$

Entonces, el valor de $b_n$ es

$\displaystyle \large b_n = \left\{ \begin{matrix} \frac{8k}{n^2 \pi^2} \quad \quad n=1,5,9, \cdots \\ - \frac{8k}{n^2 \pi^2} \quad \quad n=3,7,11,\cdots \\ 0 \quad \quad n=2,4,6, \cdots \end{matrix} \right.$

Finalmente, la serie de Fourier esperado es

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{\left(\frac{n \pi}{\tau} t \right)}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{\left(\frac{n \pi}{\pi} t \right)}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{b_n \sin{n t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1,5,9,\cdots }^{\infty}{\frac{8k}{n^2 \pi^2} \sin{n t}} + \sum_{n=3,7,11,\cdots}^{\infty}{\left(- \frac{8k}{n^2 \pi^2} \right) \sin{n t}} + \sum_{n=2,4,6,\cdots}^{\infty}{0 \sin{n t}}$

$\displaystyle \therefore f(t) = \frac{8k}{\pi} \sum_{n=1,5,9,\cdots }^{\infty}{\frac{1}{n^2} \sin{n t}} - \frac{8k}{\pi} \sum_{n=3,7,11,\cdots}^{\infty}{\frac{1}{n^2} \sin{n t}}$

Expansión en serie de Fourier de una función en un intervalo finito. Fourier.

Introducción

Expansiones de medio corrido

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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