Ortogonalidad de funciones complejas de las series de Fourier. Forier.

Introducción

El conjunto de funciones complejas $f(t)$ se denomina ortogonal en el intervalo $a < t < b$ , si

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left\{ \begin{matrix} 0, \quad \text{para} \quad n \ne m \\ r_n, \quad \text{para} \quad n = m \end{matrix} \right.$

donde $f_m^*(t)$ es el conjugado complejo de $f_m(t)$ .

Teoremas

Teorema 1. El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier $|e^{j n \omega_0 t}|$ , $n= 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots$ , obedece la condición de ortogonalidad para $n \ne m$ en el intervalo $-T/2 < t < T/2$ , donde $\omega_0 = 2\pi/T$ .

Demostración. Con $f_n (t) = e^{j n \omega_0 t}$ , $f_m (t) = e^{j m \omega_0 t}$ y $-T/2 < t < T/2$ , y cuando $m=0$ , $f_m (t) = e^{j m \omega_0 (0)} = 1$ , se tiene que

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} (1) \, dt}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{a}^{b}{e^{j n \omega_0 t} \, dt}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left[\frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 t} + C \right]_{-T/2}^{T/2}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 (T/2)} - \frac{1}{jn \omega_0} e^{j n \omega_0 (-T/2)}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j n \frac{2\pi}{T} } e^{j n (\frac{2\pi}{T}) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j n (\frac{2\pi}{T})} e^{j n (\frac{2\pi}{T}) (-\frac{T}{2})}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 n \pi} e^{j n \pi} - \frac{T}{j 2 n \pi} e^{-j n \pi}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 n \pi} (0) - \frac{T}{j 2 n \pi} (0)$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = 0$

para $n \ne 0$ . Cuando $m \ne 0$ y $n \ne m$ , resulta los siguiente

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} [e^{j n \omega_0 t}]^* \, dt}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j n \omega_0 t} e^{-j n \omega_0 t} \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j \omega_0 (n- m) t} \, dt}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \left[\frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) t} + C \right]_{-T/2}^{T/2}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j \omega_0 (n-m)} e^{j \omega_0 (n- m) (-\frac{T}{2})}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{1}{j (\frac{2\pi}{T}) (n-m)} e^{j (\frac{2\pi}{T}) (n- m) (\frac{T}{2})} - \frac{1}{j (\frac{2\pi}{T}) (n-m)} e^{j (\frac{2\pi}{T}) (n- m) (-\frac{T}{2})}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j2 \pi (n-m)} e^{j \pi (n- m)} - \frac{T}{j2 \pi (n-m)} e^{- j \pi (n- m)}$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 \pi (n-m)} \left[ e^{j \pi (n- m)} - e^{- j \pi (n- m)} \right]$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = \frac{T}{j 2 \pi (n-m)} \left[ (-1)^{(n- m)} - (-1)^{(n- m)} \right]$

$\displaystyle \int_{a}^{b}{f_n (t) f^*_m (t) \, dt} = 0$

Y con esto queda demostrado el teorema 1.

¿Cómo determinar los coeficientes de la serie compleja de Fourier utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas e^jnω₀t?

Sea $f(t)$ una función periódica con período $T$ , y sea la serie de Fourier en forma compleja, correspondiente a esta función dada por

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}}$

donde $\omega_0 = 2\pi/T$ .

Multiplicando por $e^{-j m \omega_0 t}$ en ambos miembros, resulta

$\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}} \right] \cdot e^{-j m \omega_0 t}$

$\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t} e^{-j m \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j (n - m) \omega_0 t}}$

Integrando en ambos miembros en el intervalo $[-T/2, \, T/2]$ , se obtiene

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = \int_{-T/2}^{T/2}{\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j (n - m) \omega_0 t}} \right] \, dt}$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n \left[ \int_{-T/2}^{T/2}{e^{j (n - m) \omega_0 t} \, dt} \right]}$

Si $n = m$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( \int_{-T/2}^{T/2}{e^{0} \, dt} \right)$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left[ \int_{-T/2}^{T/2}{(1)\, dt} \right] = c_m \left(\int_{-T/2}^{T/2}{dt} \right)$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} =c_m \left[ \frac{T}{2} - \left(-\frac{T}{2} \right) \right]$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \right)$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_m \left( T \right)$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = T c_m$

Cambiando $m$ por $n$

$\displaystyle \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt} = T c_n$

Y despejando $c_n$ , resulta

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j m \omega_0 t} \, dt} = c_n$

$\displaystyle \therefore c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt}$

Si $n=0$

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 (0)} \, dt}$

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^0\, dt}$

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) (1) \, dt}$

$\displaystyle \therefore c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \, dt}$

Y si $n$ fuera $-n$

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j n \omega_0 t} \, dt} \quad \rightarrow \quad c_{-n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{-j (-n) \omega_0 t} \, dt}$

$\displaystyle \therefore c_{-n} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) \cdot e^{j n \omega_0 t} \, dt}$

Y así es como se obtienen los coeficientes de la serie compleja de Fourier utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones complejas $e^{j n \omega_0 t}$ .

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Publicado por Cesar Reyes

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