De la serie de Fourier a la integral de Fourier. Fourier.

Introducción

Si una función periódica $f_T (t)$ de período $T$ llega a ser que $T$ tienda a infinito, entonces esa función resultante $\displaystyle f(t) = \lim_{T \rightarrow \infty}{f_T (t)}$ dejará de ser periódica, en base al procedimiento de límite mediante un tren de pulsos rectangulares.

Para conocer esto, se considera el tren de pulsos rectangulares que se muestra en la figura 1.

donde

$\displaystyle \large f_T (t) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{para} & -\frac{1}{2} T < t < - \frac{1}{2} d \\1 & \text{para} & - \frac{1}{2} d < t < \frac{1}{2} d \\0 & \text{para} & \frac{1}{2}d < t < \frac{1}{2} T \end{matrix} \right.$

Y también

$\displaystyle f_T (t+T) = f_T (t)$ , $T>d$

Si $T \rightarrow \infty$ , se obtiene la función (mostrado en la figura 1c)

$\displaystyle \large f(t) = \lim_{T \rightarrow \infty}{f_T (t)} = \left\{ \begin{matrix} 1 & \text{para} & - \frac{1}{2} d < t < \frac{1}{2} d \\0 & \text{de otro modo}& &\end{matrix} \right.$

Y esto es evidente que $f(t)$ no es una función periódica.

Efectos al incrementar el período en el espectro de una función periódica

Ahora, utilizando el tren de pulsos rectangulares de la siguiente figura, se discutirá los efectos de incrementar el período en el espectro de la función periódica.

El espectro de frecuencia del pulso rectangular periódico [resuelto en el problema 1, del tema Espectros de frecuencia compleja. Fourier]. En la figura 2 (Espectros de amplitud para d=1/20 y T=1/4) y 3.3.3 (Espectro de amplitud para d=1/20, T=1/2) se ha observado que cuando el espectro discreto de una función periódica con período $T$ , se dibujó en función de la frecuencia, por lo que, la distancia entre armónicos adyascentes es la frecuencia fundamental $\omega_0 = 2\pi / T$ . De este modo, a medida que el período $T$ aumenta, $\omega_0$ disminuye y las líneas en el espectro se acercan unas a otras. En consecuencia, el número de líneas (armónicos) en una banda de frecuencia aumenta.

Por otra parte, del resultado obtenido del problema 1, Espectros de frecuencia compleja. Fourier, se tiene lo siguiente

$\displaystyle c_n = \frac{Ad}{T} \left[ \frac{\sin{\left( \frac{n \pi d}{T} \right)}}{\frac{n \pi d}{T}} \right]$

Por tanto, si el período $T$ aumenta, las amplitudes de todos los armónicos disminuyen.

Esto se concluye que en el límite, a medida que $T$ se acerca al infinito, los armónicos se encuentran infinitamente cercanos y son de amplitud infinitesimal, es decir, el espectro discreto se vuelve continuo.

Representación de Fourier de una función f(t) no periódica

Sea $f(t)$ una función períodica con período $T$ , cuando $T$ se aproxima a infinito, $f(t)$ se convierte en una función no períodica. Para encontrar la representación de Fourier de esa función no periódica, se empieza por la forma compleja de la serie de Fourier

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}}$

– – – (1)

donde

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) e^{-j n \omega_0 t} \, dt}$

– – – (2)

$\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

– – – (3)

Sustituyendo (2) en (1)

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) e^{-j n \omega_0 t} \, dt} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

Tomando $x$ como la variable comodín dentro de la integral para evitar confunsión con $t$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

– – – (4)

con motivo de no involucrar el término de la exponencial de la suma con los términos de la integral. Ahora, la ecuación (4) también se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{\frac{2\pi}{\omega_0}} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{\omega_0}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\omega_0 \left[\frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] e^{j n \omega_0 t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \omega_0 x} \, dx} \right] \omega_0 e^{j n \omega_0 t}}$

– – – (5)

En el caso de la ecuación (3), haciendo que $T$ tienda a infinito

$\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

$\displaystyle \lim_{T \rightarrow \infty}{\omega_0} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\frac{2\pi}{T}}$

$\displaystyle \omega_0 = 0$

Ahora, sea $\omega_0 = \Delta \omega$ ; entonces, la frecuencia de cualquier armónico $n \omega_0$ debe corresponder a la variable general de frecuencia que describe el espectro continuo. En otras palabras, si $n$ tiende a infinito a medida que $\omega_0 = \Delta \omega$ tienda a cero, el producto es finito, esto es

$\displaystyle n \omega_0 = n \Delta \omega \rightarrow \omega$

Así que, de la ecuación (5)

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j \, n \, \omega_0 \, x} \, dx} \right] \omega_0 e^{j n \, \omega_0 \, t}}$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \,\Delta \omega \, x} \, dx} \right] \Delta \omega \, e^{j n \, \Delta \omega \, t}}$

Tomando el límite en ambos miembros, cuando $T$ tienda a infinito

$\displaystyle \lim_{T \rightarrow \infty}{[f(t)]} = \lim_{T \rightarrow \infty}{\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2}{f(x) e^{-j n \,\Delta \omega \, x} \, dx} \right] \Delta \omega \, e^{j n \, \Delta \omega \, t}}\right\}}$

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) e^{-j \omega \, x} \, dx} \right] \, e^{j \omega \, t} \, d\omega}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\left[\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) e^{-j \omega \, x} \, dx} \right] \, e^{j \omega \, t} \, d\omega}$

– – – (6)

Definiendo

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}$

– – – (7)

la ecuación (6) se convierte en

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) \, e^{j \omega \, t} \, d\omega}$

– – – (8)

Por tanto, las ecuaciones (7) y (8) son la representación de Fourier de la función no periódica.

Se observa que la ecuación (7) es análoga a (1), y la ecuación (8) es análoga a (2). La relación que se muestra en la ecuación (6) se conoce como identidad de Fourier.

Integral de Fourier

Teorema 1. El teorema de la integral de Fourier afirma que si $f(t)$ es real, entonces

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos{\omega(t-x)} \, dx} \, d\omega}$

Demostración del teorema 1. De la ecuación (6)

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\left[\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) e^{-j \omega \, x} \, dx} \right] \, e^{j \omega \, t} \, d\omega}$

también se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) e^{-j \omega \, x} \, e^{j n \, \omega \, t} \, dx} \, d\omega}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) e^{j \omega \, (t - x)} \, dx} \, d\omega}$ – – – (9)

Por identidad de Euler [ $e^{j\omega (t - x)} = \cos{\omega (t - x)} + j \sin{\omega (t - x)}$ ], se tiene

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) [\cos{\omega (t - x)} + j \sin{\omega (t - x)} ] \, dx} \, d\omega}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos{\omega (t - x)} \, dx} \, d\omega} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \sin{\omega (t - x)} \, dx} \, d\omega}$