Transformada de Fourier. Fourier

Introducción

La función $F(\omega)$ definida por

$\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}$

– – – (1)

se conoce como la integral de Fourier o la transformada de Fourier de $f(t)$ , y la operación de integración simbólica frecuentemente por $\mathcal{F}$ ; esto es

$\displaystyle F (\omega) = \mathcal{F} [f(t)]= \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}$

– – – (2)

Análogamente $\mathcal{F}^{-1}$ es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa, es decir, para obtener $f(t)$ cuando $F(\omega)$ está dado; esto es,

$\displaystyle f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{j \omega \, t} \, d\omega}$

– – – (3)

y $f(t)$ se denomina transformada inversa de Fourier de $F(\omega)$ . Las ecuaciones (2) y (3) se conocen a menudo como par de transformadas de Fourier. La condición para que exista $F(\omega)$ generalmente está dada por

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|f(t)| \, dt} < \infty$

– – – (4)

En otros términos, la integral del valor absoluto de $f(t)$ debe ser finita.

Nota. Se debe observa que la ecuación (4) es una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de $\mathcal{F}[f(t)]$ ; las funciones que no satisfacen a la ecuación (4) pueden tener transformadas de Fourier.

La función $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ es, en general, compleja y, se tiene

$F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega) = |F(\omega)| e^{j \phi(\omega)}$

donde $|F(\omega)|$ se denomina espectro de magnitud de $f(t)$ , y $\phi(\omega)$ , espectro de fase de $f(t)$ .

Teoremas y demostraciones

Teorema 1. Si $f(t)$ es real, las partes real e imaginaria de $F(\omega)$ son

$\displaystyle R(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

Así mismo $R(\omega)$ y $X(\omega)$ son funciones par e impar de $\omega$ , respectivamente; es decir,

$R(\omega) = R(-\omega)$

$X(\omega) = - X(-\omega)$

$F(-\omega) = F^*(\omega)$

donde $F^*(\omega)$ denota el conjugado complejo de $F(\omega)$ .

Demostración del teorema 1. Partiendo de la ecuación

$\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt}$

Utilizando la idéntidad de Euler

$e^{-j \omega \, t} = \cos{\omega t} - j\sin{\omega t}$

La ecuacion tiene la siguiente expresión

$\displaystyle F (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) (\cos{\omega t} - j\sin{\omega t}) \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt} - j\int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

$F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega)$

Igualando las partes real e imaginaria

$\displaystyle R (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

Y estos son la parte real y parte imaginaria de $F(\omega)$ , del teorema 1, si $f(t)$ es real. Ahora se observará que $R(\omega)$ es par y $X(\omega)$ es imaginaria. Para $R(\omega)$

$\displaystyle R (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle R (-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{(-\omega t)} \, dt}$

$\displaystyle R (-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle R (\omega) = R(-\omega)$

Esto queda demostrado que $R (\omega)$ es par. Y para $X(\omega)$

$\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle X(-\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{(-\omega t)} \, dt}$

$\displaystyle X(\omega) = - \left[- \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt} \right]$

$\displaystyle X(\omega) = - X(-\omega)$

O también

$\displaystyle X(-\omega) = - X(\omega)$

Esto queda demostrado que $X (\omega)$ es impar. Por último

$F(\omega) = R(\omega) + j X(\omega)$

$F(-\omega) = R(-\omega) + j X(-\omega)$

$F(-\omega) = R(\omega) - j X(\omega)$

$F(-\omega) = F^*(\omega)$

Y esto queda demostrado.

Teorema 2. La ecuación $F(-\omega) = F^*(\omega)$ es condición necesaria y suficiente para que $f(t)$ sea real.

Demostración del teorema 2. Sea

$f(t) = f_1 (t) + jf_2(t)$

donde $f_1(t)$ y $f_2 (t)$ son funciones reales. Luego

$f(t) = f_1 (t) + jf_2(t)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \, e^{j \omega t} \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) + j X(\omega)] \, (\cos{\omega t} + j\sin{\omega t} \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} + j X(\omega) \cos{\omega t} + j R(\omega t) \sin{\omega t} - R(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_1 (t) + jf_2(t)$

$\displaystyle f_1 (t) + jf_2(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt}$

Por el método de igualación se observa que

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \cos{\omega t} - X(\omega) \sin{\omega t}] \, dt} = f_1 (t)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{[R(\omega) \sin{\omega t} + X(\omega) \cos{\omega t}] \, dt} = f_2(t)$

Ahora, si $F(-\omega) = F^*(\omega)$ , entonces

$R(-\omega) = R(\omega)$

$X(- \omega) = - X(\omega)$

En consecuencia

$R(- \omega) \sin{(- \omega t)} = - R(\omega) \sin{\omega t}$

$R (- \omega) \cos{(- \omega t)} = R(\omega) \cos{\omega t}$

$X(-\omega) \sin{(- \omega t)} = [-X(\omega)] [- \sin{\omega t}] = X(\omega) \sin{\omega t}$

$X(- \omega) \cos{(- \omega t)} = [-X(\omega)] \cos{\omega t} = - X(\omega) \cos{\omega t}$

Por lo que $R(\omega) \sin{\omega t}$ y $X(\omega) \cos{\omega t}$ son funciones impares de $\omega$ mientras que $R(\omega) \cos{\omega t}$ y $X(\omega) \sin{\omega t}$ son funciones pares de $\omega$ , y el integrando

es una función impar de $\omega$ . Por consiguiente

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j0 + j0$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{R(\omega) \cos{\omega t} \, dt} - \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{X(\omega) \sin{\omega t} \, dt} + j0$

se tiene que $f_2 (t) = 0$ , es decir, $f(t)$ es real. Por tanto, se concluye que la ecuación $F(-\omega) = F^*(\omega)$ es condición necesaria y suficiente para que $f(t)$ sea real.

Teorema 3. Si $f(t)$ es real, su espectro de magnitud $|F(\omega)|$ es una función par de $\omega$ , y que su espectro de fase $\phi (\omega)$ es una función impar de $\omega$ .

Demostración del teorema 3. Si $f(t)$ es real, entonces

$F(-\omega) = F^*(\omega)$

Recordando que

$\displaystyle F(\omega) = |F(\omega)| e^{j \phi(\omega)}$

Tambien se tiene que

$\displaystyle F(- \omega) = |F(- \omega)| e^{j \phi(-\omega)}$

$\displaystyle F^*(\omega) = |F(\omega)| e^{- j \phi(\omega)}$

Después

$F(-\omega) = F^*(\omega)$

$|F(- \omega)| e^{j \phi(-\omega)} = |F(\omega)| e^{-j \phi(\omega)}$

Por el método de igualación, se concluye que

$|F(-\omega)| = |F(\omega)|$

$\phi(-\omega) = - \phi(\omega)$

es decir, el espectro de magnitud $|F(\omega)|$ es una función par de $\omega$ y el su espectro de fase $\phi (\omega)$ es una función impar de $\omega$ .

Teorema 4. Si la transformada de Fourier de una función real $f(t)$ es real, entonces $f(t)$ es una función par de $t$ , y que si la transformada de Fourier de una función real $f(t)$ es imaginaria pura, entonces $f(t)$ es una función impar de $t$ .

Demostración del teorema 4. Sea

$\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega) = R(\omega) + jX(\omega)$

Recordando que

$\displaystyle R(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \cos{\omega t} \, dt}$

$\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

Si $F(\omega) = R(\omega)$ y $X(\omega) = 0$ , entonces

$\displaystyle X(\omega) = - \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \sin{\omega t} \, dt}$

debe ser impar con respecto a $t$ . Puesto que $\sin{\omega t}$ es una función impar de $t$ , $f(t)$ debe de ser una función par de $t$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular $p_d (t)$ definido por

$\displaystyle p_d (t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |t| < \frac{1}{2} d \\0, \quad |t|> \frac{1}{2} d \end{matrix} \right.$

Figura 4.2.1 Pulso rectangular del problema 1 — *Figura 1. Pulso rectangular del problema 1.*

Solución.

$\displaystyle f(t) = p_d (t)$

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}[p_d (t)]$

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{p_d (t) e^{-j \omega t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-d/2}^{d/2}{(1) e^{-j \omega t} \, dt} = \int_{-d/2}^{d/2}{e^{-j \omega t} \, dt}$

$\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega t} \right]_{-d/2}^{d/2}$

$\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega d/2} + \frac{1}{j \omega} e^{-j \omega (-d/2)} \right]$

$\displaystyle F (\omega) = \left[-\frac{1}{j \omega} e^{-j \omega d/2} + \frac{1}{j \omega} e^{j \omega d/2} \right]$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{j \omega} \left(- e^{-j \omega d/2} + e^{j \omega d/2} \right)$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{j \omega} \left(e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2} \right)$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{\omega} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{j} \right)$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{1}{\omega} \frac{2}{2} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{j} \right)$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \left(\frac{e^{j \omega d/2} - e^{-j \omega d/2}}{2j} \right)$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{\frac{\omega d}{2}}{\frac{\omega d}{2}} \cdot \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}$

$\displaystyle F (\omega) = \frac{2}{\omega} \cdot \frac{\omega d}{2} \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}$

$\displaystyle F (\omega) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore F(\omega) = d \cdot \frac{\sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}}{\frac{\omega d}{2}}$

Figura 4.2.2 La transformada de Fourier del pulso rectangular del problema 1 — *Figura 2. Transformada de Fourier del pulso rectangular del problema 1.*

Problema 2. Encontrar la transformada de Fourier de $f(t)$ definida por

$\displaystyle f (t) = \left\{ \begin{matrix} e^{-\alpha t}, & t > 0 \\0, & t < 0 \end{matrix} \right.$

donde $\alpha > 0$ .

Figura 4.2.3 Funcion f(t) del problema 2 — *Figura 3. Función f(t) del problema 2.*

Solución.

$\displaystyle f(t) = f (t)$

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \mathcal{F}[f(t)]$

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f (t) e^{-j \omega t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = \int_{0}^{\infty}{e^{-\alpha t} e^{-j \omega t} \, dt} = \int_{0}^{\infty}{e^{-(\alpha + j\omega) t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) t} \right]_{0}^{\infty}$

$\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) \infty} + \frac{1}{\alpha + j\omega} e^{-(\alpha + j\omega) (0)} \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \left[- \frac{1}{\alpha + j\omega} (0) + \frac{1}{\alpha + j\omega} (1) \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \left(0 + \frac{1}{\alpha + j\omega} \right)$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore F(\omega) = \frac{1}{\alpha + j\omega}$

Un comentario sobre “Transformada de Fourier. Fourier”

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