Interpretación de las transformadas de Fourier. Fourier

Si se supone que $f(t)$ es periódica con período $T$ , entonces $f(t)$ se puede expresar como

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \omega_0 t}}$

donde $\omega_0 = 2\pi/T$ , y donde

$\displaystyle c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) e^{-j n \, \omega_0 \, t} \, dt}$

Ahora si se considera que a medida que $T$ tienda a infinito, $\omega_0$ tenderá a $\Delta \omega = 2\pi \Delta f$ , $\Delta f = 1/T$ , entonces la expresión $f(t)$ y $c_n$ se convierten, respectivamente, en

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n e^{j n \Delta \omega t}}$

$\displaystyle c_n = \Delta f \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) e^{-j n \, \Delta \omega \, t} \, dt}$

Después, se observa que si $\Delta \omega$ tiende a cero, $n$ tienderá a infinito tal que $n\Delta \omega$ tienda a $\omega$ . En otros términos, en el límite, en vez de tener armónicos discretos correspondientes a $n \omega_0$ , todo valor de $\omega$ es permitido. De esta manera, en vez de $c_n$ , se tiene $c (\omega)$ , y para $c_n$ se tiene lo siguiente

$\displaystyle c_n = \Delta f \int_{-T/2}^{T/2}{f(t) e^{-j n \, \Delta \omega \, t} \, dt}$

$\displaystyle c (\omega) = \Delta f \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j n \, \Delta \omega \, t} \, dt}$

$\displaystyle \frac{c (\omega) }{\Delta f} = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j n \, \Delta \omega \, t} \, dt}$

$\displaystyle \lim_{\Delta f \rightarrow 0}{\frac{c (\omega) }{\Delta f}} = \lim_{\Delta f \rightarrow 0}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j n \, \Delta \omega \, t} \, dt}}$

$\displaystyle \lim_{\Delta f \rightarrow 0}{\frac{c (\omega) }{\Delta f}} = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j \omega \, t} \, dt} = F(\omega)$

También, se observa que

$F(\omega) df = c(\omega)$

Recordando que $\omega = 2\pi f$ , se tiene lo siguiente

$\displaystyle F(\omega) \cdot \frac{1}{2\pi} d \omega = c(\omega)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} F(\omega) d \omega = c(\omega)$

Por tanto, en la expresión de $f(t)$

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c(\omega) e^{j \omega t}}$

$\displaystyle f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{2\pi} F(\omega) d \omega e^{j\omega t}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{j \omega t} \, d \omega}$

Esta ecuación muestra que $\frac{1}{2} \pi |F(\omega)| d \omega$ representa la magnitud infinitesimal de un armónico a la frecuencia angular $\omega$ . Estos armónicos tienen frecuencia fundamental cero, ( $\omega_0 \rightarrow d\omega$ ) y están separados por infinitésimos. Aunque $|F(\omega)| d\omega$ es infinitesimal, $F(\omega)$ es finito; por esta razón a la gráfica $|F(\omega)|$ versus $\omega$ se le denomina espectro continuo a $|F(\omega)|$ se le denomina generalmente, espectro de magnitud de $f(t)$ .

De las ecuaciones

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) e^{-j n \omega t} \, dt}$

– – – (1)

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega) e^{j n \omega t} \, d\omega}$

– – – (2)

se supone que cualquier función dada tiene dos modos equivalentes de representación: uno en el domino del tiempo, $f(t)$ y el otro en el dominio de la frecuencia, $F(\omega)$ . La ecuación (1) transforma la función $f(t)$ , en el dominio del tiempo, a su función equivalente $F(\omega)$ , en el dominio de la frecuencia, y la ecuación (2) invierte el proceso. La ecuación (1) analiza la función de tiempo en un espectro de frecuencia y la ecuación (2) sintetiza el espectro de frecuencia para obtener nuevamente la función en términos del tiempo.

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Publicado por Cesar Reyes

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