Propiedades de las transformadas de Fourier. Fourier.

Teoremas

Teorema 1. Propiedad de linealidad. Si $F_1 (\omega) = \mathcal{F}[f_1 (t)]$ y $F_2 (\omega) = \mathcal{F}[f_2 (t)]$ , y $a_1$ y $a_2$ son dos constantes arbitrarias, entonces

$\displaystyle \mathcal{F}[a_1 f_1(t) + a_2 f_2 (t)] = a_1 F_1(\omega) + a_2 F_2 (\omega)$

Teorema 2. Propiedad de escalonamiento. Si $a_1$ es una constante real y $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{F}[f(at)] = \frac{1}{|a|} F \left(\frac{\omega}{a} \right)$

Teorema 3. Si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , entonces

$\mathcal{F}[f(-t)] = F(-\omega)$

Teorema 4. Propiedad de desplazamiento en el tiempo. Si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , entonces

$\mathcal{F}[f(t-t_0)] = F(\omega) e^{-j\omega t_0}$

Teorema 5. Propiedad de desplazamiento en la frecuencia. Si $\omega_0$ es una constante real y $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , entonces

$\mathcal{F}[f(t)e^{j\omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)$

Teorema 6. Propiedad de simetría. Si $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ , entonces

$\mathcal{F} [F(t)] = 2\pi f(-\omega)$

Teorema 7. Si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ y $f(t) \rightarrow 0$ cuando $t \rightarrow \pm \infty$ , entonces

$\mathcal{f'(t)} = j\omega F(\omega) = j\omega \mathcal{F}[f(t)]$

Este teorema muestra la diferenciación en el dominio del tiempoque corresponde a la multiplicación de la transformada de Fourier por $j\omega$ dado que $f(t) \rightarrow 0$ cuando $t \rightarrow \pm \infty$ .

Se observa que si $f(t)$ tiene un número finito de súbitas discontinuidades, entonces $f'(t)$ contiene impulsos. Por consiguiente, la transformada de Fourier de $f'(t)$ , en este caso, debe contener transformada de Fourier de los impulsos de $f'(t)$ .

Mediante la aplicación repetida del teorema 7,

$\displaystyle \mathcal{F}[f^n (t)] = (j\omega)^n F(\omega) = (j \omega) \mathcal{F} [f(t)]$ , $n=1,2, \cdots$

Teorema 8. Si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , $\omega \ne 0$ , y

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{f(t) \, dt} = F(0) = 0$ ,

entonces,

$\displaystyle \mathcal{F} \left[\int_{-\infty}^{t}{f(x) \, dx} \right] = \frac{1}{j\omega} F(\omega) = \frac{1}{j\omega} \mathcal{F}[f(t)]$

Teorema 9. Si $\mathcal{F}[f(t)] = F(\omega)$ , $\omega = 0$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{F}[\phi(t)] = \int_{- \infty}^{\infty}{\phi (t) \, dt}$

Cuando $\displaystyle F(0) = \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \, dx} \ne 0$ , se tiene

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \int_{-\infty}^{t}{f(x) \, dx} \right] = \frac{1}{j\omega} F(\omega) + \pi \, F(0) \, \delta(\omega)$

Teorema 10. Si $\mathcal{F} [f(t)] = F(\omega)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{F}[-jt \, f(t)] = \frac{d}{d\omega} [F(\omega)]$

Problemas resueltos

Problema 1. Si $F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)]$ , hallar la transformada de Fourier de $f(t) \cos{\omega_0 t}$ .

Solución.

$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t) \cos{\omega_0 t}]$

$\displaystyle F(\omega) = \mathcal{F} \left[f(t) \left(\frac{e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t}}{2} \right) \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[f(t) \left(e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t} \right) \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[f(t) e^{j \omega_0 t} + f(t) e^{-j \omega_0 t} \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[f(t) e^{j \omega_0 t} \right] + \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[f(t) e^{-j \omega_0 t} \right]$

$\displaystyle \therefore F(\omega) = \frac{1}{2} F(\omega - \omega_0) + \frac{1}{2} F(\omega + \omega_0)$

Problema 2. Hallar la transformada de Fourier de la función coseno de duración finita igual a $d$ .

Solución. La función coseno de duración $d$ se puede expresar como una función modulada por pulso; es decir,

$f(t) = p_d(t) \cos{\omega_0 t}$ ,

donde

$\displaystyle p_d (t) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |t| < \frac{1}{2} d \\ 0, \quad |t| > \frac{1}{2} d \end{matrix} \right.$

Figura 4.5.1 Funcion coseno de duración finita — *Figura 1. Función coseno de duración finita.*

Determinando la transformada de Fourier

$\displaystyle F(\omega) = \mathcal{F} [f(t)]$

$\displaystyle F(\omega) = \mathcal{F} [p_d(t) \cos{\omega_0 t}]$ ,

$\displaystyle F(\omega) = \mathcal{F} \left[p_d(t) \left(\frac{e^{j \omega_0 t} - e^{j \omega_0 t}}{2} \right) \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[p_d(t) \left(e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t} \right) \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[p_d(t) e^{j \omega_0 t} \right] - \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[p_d(t) e^{-j \omega_0 t} \right]$

Recordando que

$\displaystyle \mathcal{F} [p_d(t)] = \frac{2}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}$

Por la propiedad de desplazamiento de la frecuencia, se observa que

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[p_d(t) e^{j \omega_0 t} \right] + \frac{1}{2} \mathcal{F} \left[p_d(t) e^{-j \omega_0 t} \right]$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{\omega - \omega_0} \right) \sin{\left[\frac{(\omega - \omega_0) d}{2} \right]} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{\omega + \omega_0} \right) \sin{\left[\frac{(\omega + \omega_0) d}{2} \right]}$

$\displaystyle F(\omega) = \left(\frac{1}{\omega - \omega_0} \right) \sin{\left[\frac{(\omega - \omega_0) d}{2} \right]} + \left(\frac{1}{\omega + \omega_0} \right) \sin{\left[\frac{(\omega + \omega_0) d}{2} \right]}$

El resultado de la transformada de Fourier, se muestra en la siguiente figura.

Figura 4.5.2 Transformada de Fourier de la funcion coseno — *Figura 2. Transformada de Fourier de la función coseno.*

Problema 3. Hallar la transformada de Fourier de la función

$\displaystyle f(t) = \frac{\sin{at}}{\pi t}$

Solución. Recordando que

$\displaystyle \mathcal{F} [p_d(t)] = \frac{2}{\omega} \sin{\left(\frac{\omega d}{2} \right)}$

Por la propiedad de simetría, se observa que

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{2}{t} \sin{\left(\frac{t d}{2} \right)} \right] = 2\pi p_d (-\omega)$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \mathcal{F} \left[ \frac{2}{t} \sin{\left(\frac{t d}{2} \right)} \right] = p_d (-\omega)$

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{2}{2\pi t} \sin{\left(\frac{t d}{2} \right)} \right] = p_d (-\omega)$

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \sin{\left(\frac{t d}{2} \right)} \right] = p_d (-\omega)$

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \sin{\left(\frac{d}{2} t \right)} \right] = p_d (-\omega)$

También se recuerda que $p_d (\omega)$ está definida como

$\displaystyle p_d (\omega) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |\omega| < \frac{1}{2} d \\0, \quad |\omega|> \frac{1}{2} d \end{matrix} \right.$

es una función par de $\omega$ ; por consiguiente

$p_d (-\omega) = p_d (\omega)$

Asignando a $a=\frac{1}{2}d$ (como también $d=2a$ ), se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \sin{\left(\frac{d}{2} t \right)} \right] = p_d (-\omega)$

$\displaystyle \mathcal{F} \left[ \frac{1}{\pi t} \sin{\left(a t \right)} \right] = p_{2a} (-\omega)$

donde

$\displaystyle p_{2a} (\omega) = \left\{ \begin{matrix} 1, \quad |\omega| < a \\0, \quad |\omega|> a \end{matrix} \right.$

Las gráficas de $f(t) = \sin(at) / \pi t$ y su transformada, $F(\omega)$ , se muestran en las siguientes figuras.

Propiedades de las transformadas de Fourier. Fourier.

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