Transformada de Fourier de una constante. Fourier.

Introducción

De la siguiente figura, se obtendrá la transformada de Fourier de una función constante (asignado como $A$ ).

Figura 5.2.1 Funcion constante — *Figura 1. Función constante.*

Partiendo de

$f(t) = A$

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{F} [f(t)] = \mathcal{F}[A]$

Continuando

$\displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}{A \, e^{-j\omega t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = A \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-j\omega t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = \frac{2\pi}{2\pi} \cdot A \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-j\omega t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = 2A\pi \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j(-\omega) t} \, dt}$

Recordando la expresión general de la función impulso unitario es

$\displaystyle \delta(y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{jxy} \, dx}$

Se asigna a $x=t$ y a $y=\omega$ , por lo que, la expresión anterior queda de la siguiente manera

$\displaystyle \delta(-\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{jt(-\omega)} \, dt}$

Regresando y sustituyendo

$\displaystyle F(\omega) = 2A\pi \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{j(-\omega) t} \, dt}$

$\displaystyle F(\omega) = 2A\pi \, \delta(-\omega)$

Se sabe que

$\displaystyle \delta(-t) = \delta (t)$

Entonces

$\displaystyle \therefore F(\omega) = 2A\pi \, \delta(\omega) \quad,$ o $\displaystyle , \quad \therefore \mathcal{F}[A] = 2A\pi \, \delta(\omega)$

Figura 5.2.2 Transformada de Fourier de la funcion constante — *Figura 2. Transformada de Fourier de la función constante.*

Si $A=1$ , entonces

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[1] = 2\pi \, \delta(\omega)$

Transformada de Fourier de una función exponencial

Como $\displaystyle \mathcal{F}[1] = 2\pi \, \delta(\omega)$ y $\mathcal{F}[f(t) e^{j \omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)$ , se observa que

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t) e^{j \omega_0 t}] = F(\omega - \omega_0)$

$\displaystyle \mathcal{F}[(1) e^{j \omega_0 t}] = 2\pi \, \delta (\omega - \omega_0)$

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[e^{j \omega_0 t}] = 2\pi \, \delta (\omega - \omega_0)$

Transformada de Fourier de la función seno

Aplicando la identidad del seno

$\displaystyle \sin{\omega_0 t} = \frac{e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t}}{j2} = \frac{1}{j2} (e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t})$

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = \frac{1}{j2} \mathcal{F}[(e^{j \omega_0 t} - e^{-j \omega_0 t})]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = \frac{1}{j2} \left[\mathcal{F}[e^{j \omega_0 t}] - \mathcal{F}[e^{-j \omega_0 t}] \right]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = \frac{1}{j2} \left[ 2\pi \, \delta (\omega - \omega_0) - 2 \pi \, \delta(\omega + \omega_0) \right]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = \frac{1}{j2} \cdot 2 \pi \, \delta (\omega - \omega_0) - \frac{1}{j2} \cdot 2 \pi \, \delta(\omega + \omega_0)$

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = \frac{1}{j} \cdot \pi \, \delta (\omega - \omega_0) - \frac{1}{j} \cdot \pi \, \delta(\omega + \omega_0)$

$\displaystyle \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = (- j) \pi \, \delta (\omega - \omega_0) - (-j) \pi \, \delta(\omega + \omega_0)$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[\sin{\omega_0 t}] = - j \pi \, \delta (\omega - \omega_0) + j \pi \, \delta(\omega + \omega_0)$

Transformada de Fourier de la función coseno

Aplicando la identidad del coseno

$\displaystyle \cos{\omega_0 t} = \frac{e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t}}{2} = \frac{1}{2} (e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t})$

Aplicando la transformada de Fourier en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{F}[\cos{\omega_0 t}] = \frac{1}{2} \mathcal{F}[(e^{j \omega_0 t} + e^{-j \omega_0 t})]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\cos{\omega_0 t}] = \frac{1}{2} \left[\mathcal{F}[e^{j \omega_0 t}] + \mathcal{F}[e^{-j \omega_0 t}] \right]$

$\displaystyle \mathcal{F}[\cos{\omega_0 t}] = \frac{1}{2} [2\pi \, \delta (\omega - \omega_0) + 2\pi \, \delta(\omega + \omega_0) ]$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{F}[\cos{\omega_0 t}] = \pi \, \delta (\omega - \omega_0) + \pi \, \delta(\omega + \omega_0)$

2 comentarios sobre “Transformada de Fourier de una constante. Fourier.”

FELICIANO VITULLO dice:

14 abril, 2020 a las 9:29 pm

Hay un error en la Transformada de Fourier de la función seno al reemplazar e^-iw_0t, su transformada es 2.pi.delta(w+w_0)

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1. Cesar Augusto dice:
  
  15 abril, 2020 a las 12:59 pm
  
  Gracias por la observación. Ya se corrigió; hubo un error de dedo.
  
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