Potencias en los circuitos de corriente alterna. Problema 3. Máquinas eléctricas.

Problema. Demuestre que la ecuación (a) se puede obtener a partir de la ecuación (b) utilizando las identidades trigonométricas simples:

$\displaystyle p (t) = VI \cos{\theta} (1+\cos{2\omega t}) + VI \sin{\theta} \sin{2\omega t}$ – – – – (a)

$p(t) = v(t) \ i(t) = 2\ V \ I \cos{\omega t} \cos{(\omega t - \theta)}$ – – – – (b)

Solución.

Tomando la ecuación (b)

$p(t) = v(t) \ i(t)$

$p(t) = 2 \ V \ I \cos{\omega t} \cos{(\omega t - \theta)}$

Recordando la fórmula trigonométrica

$\displaystyle \cos{u} \cos{v} = \frac{1}{2}\cos{u - v} + \frac{1}{2} \cos{u + v}$

Aplicándolo en la ecuación

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \ \cos{\omega t} \cos{(\omega t - \theta)} = 2 \ V \ I \left\{\frac{1}{2}\cos{[\omega t - (\omega t - \theta)]} + \frac{1}{2} \cos{[\omega t + (\omega t - \theta)]} \right\}$

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \left[\frac{1}{2}\cos{(\omega t - \omega t + \theta)} + \frac{1}{2} \cos{(\omega t + \omega t - \theta)} \right]$

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \left[\frac{1}{2}\cos{\theta} + \frac{1}{2} \cos{(2 \omega t - \theta)} \right]$

Para el segundo término dentro de los corchetes, es idéntica a la siguiente fórmula

$\cos{u - v} = \cos{u} \cos{v} + \sin{u} \sin{v}$

Entonces

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \left[\frac{1}{2}\cos{\theta} + \frac{1}{2} \cos{(2 \omega t - \theta)} \right]$

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \left[\frac{1}{2}\cos{\theta} + \frac{1}{2} (\cos{2 \omega t} \cos{\theta} + \sin{2 \omega t} \sin{\theta}) \right]$

$\displaystyle p(t) = 2 \ V \ I \left(\frac{1}{2}\cos{\theta} + \frac{1}{2} \cos{2 \omega t} \cos{\theta} + \frac{1}{2} \sin{2 \omega t} \sin{\theta} \right)$

$\displaystyle p(t) = V \ I \cos{\theta} + V \ I \cos{2 \omega t} \cos{\theta} + \ V \ I \sin{2 \omega t} \sin{\theta}$

$\displaystyle p(t) = (V \ I + V \ I \cos{2 \omega t}) \cos{\theta} + \ V \ I \sin{2 \omega t} \sin{\theta}$

$\displaystyle p(t) = V \ I (1 + \cos{2 \omega t}) \cos{\theta} + \ V \ I \sin{\theta} \sin{2 \omega t}$

$\displaystyle \therefore p(t) = V \ I (1 + \cos{2 \omega t}) \cos{\theta} + \ V \ I \sin{\theta} \sin{2 \omega t}$

Resultado idéntico a la ecuación (a).

Potencias en los circuitos de corriente alterna. Problema 3. Máquinas eléctricas.

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta

Potencias en los circuitos de corriente alterna. Problema 3. Máquinas eléctricas.

Comparte esto:

Relacionado

Publicado por Cesar Reyes

Deja un comentario Cancelar la respuesta