Máquina lineal de cd. Problema 1. Máquinas eléctricas.

Problema.

La máquina lineal que se muestra en la figura siguiente tiene una densidad de flujo de 0.5 (T) dirigida hacia dentro de la página, una resistencia de 0.25 $\Omega$ , una barra con una longitud de $l = 1.0 \ (m)$ y una batería con un voltaje de 100 V.

a) ¿Cuál es la fuerza inicial que se aplica a la barra durante el arranque? ¿Cuál es el flujo de corriente inicial?

b) ¿Cuál es la velocidad de la barrera en vacío en estado estacionario?

c) Si la barra se carga con una fuerza de 25 N en sentido opuesto a la dirección del movimiento, ¿cuál es la nueva velocidad en estado estacionario? ¿Cuál es la eficiencia de la máquina en estas circunstancias?

figura 1.2.4 — Figura 1.3.1 Máquina lineal.

Solución a).

Primero se determina la corriente.

$\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}$

$\displaystyle i = \frac{100 - 0}{0.25}$

$i = 400 \ A$

Después, la fuerza inicial que se aplica a la barra durante el arranque es

$\overrightarrow{F} = i \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B})$

$F = i \ l \ B \sin{\theta}$

$F = (400 \ A)(1 \ m)(0.5 \ T) \sin{90}$

$\therefore F = 200 \ N$

Y el flujo de corriente es hacia la derecha.

Solución b).

En estado estacionario, la fuerza y la corriente tendrán valores nulos. Entonces, calculando la corriente para este caso

$\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}$

$\displaystyle 0 = \frac{V_B - e_{ind}}{R}$

$0 = V_B - e_{ind}$

$e_{ind} = V_B$

$(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{l} = V_B$

$\displaystyle v \ B \ l \sin{\theta} = V_B$

$\displaystyle v = \frac{V_B}{B \ l \sin{\theta}}$

$\displaystyle v = \frac{100 \ V}{(0.5 \ T) \ (1 \ m) \sin{90}}$

$\therefore v = 200 \ m/s$

Este último resultado es el valor de la velocidad de la barra en vacío en estado estacionario.

Solución c).

Con una fuerza aplicada, estará dirigida hacia la izquierda y la fuerza inducida hacia la derecha. Por la primera ley de Newton

$\sum{F} = 0$

$\overrightarrow{F}_{neta} - \overrightarrow{F}_{carga} + \overrightarrow{F}_{ind} = 0$

$\overrightarrow{F}_{neta} = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}$

$0 = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}$

$\overrightarrow{F}_{ind} = \overrightarrow{F}_{carga}$

$i \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{F}_{carga}$

$i \ l \ B \sin{\theta} = F_{carga}$

$\displaystyle i = \frac{F_{carga}}{l \ B \sin{\theta}}$

$\displaystyle i = \frac{25 \ N}{(1 \ m)(0.5 \ T) \sin{90}}$

$i = 50 \ A$

Utilizando las leyes de voltaje de Kirchhoff, se determina el valor del voltaje inducido.

$\sum{V} = 0$

$iR + e_{ind} - V_B = 0$

$e_{ind} = V_B - iR$

$e_{ind} = 100 \ V - (50 \ A)(0.25 \Omega)$

$e_{ind} = 87.5 \ V$

La nueva velocidad en estado estacionario es

$\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}$

$\displaystyle 0 = \frac{V_B - e_{ind}}{R}$

$0 = V_B - e_{ind}$

$e_{ind} = V_B$

$(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{l} = e_{ind}$

$\displaystyle v \ B \ l \sin{\theta} = e_{ind}$

$\displaystyle v = \frac{e_{ind}}{B \ l \sin{\theta}}$

$\displaystyle v = \frac{87.5 \ V}{(0.5 \ T) \ (1 \ m) \sin{90}}$

$\therefore v = 175 \ m/s$

Para calcular el valor de la eficiencia, primero se calcula la potencia de entrada y por último la potencia de salida. La potencia de entrada es

$P_{ent} = V_B \ i$

$P_{ent} = (100 \ V)(50 \ A)$

$5000 \ W$

La potencia de salida es

$P_{sal} = e_{ind} \ i$

$P_{sal} = (87.5 \ V)(50 \ A)$

$P_{sal} = 4375 \ W$

Finalmente, la eficiencia de esta máquina bajo estas circunstancias es

$\displaystyle \eta = \frac{P_{sal}}{P_{ent}} \times 100$

$\displaystyle \eta = \frac{4375 \ W}{5000 \ W} \times 100$

$\therefore \eta = 87.5$ %

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Publicado por Cesar Reyes

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