Problema.

Una máquina lineal tiene las siguientes características:

\displaystyle \overrightarrow{B} = 0.5 (T) hacia dentro de la página

\displaystyle l = 0.5 (m)

R = 0.25 \Omega

V_B = 120 (V)

a) Si la barra se le coloca una carga de 20 N en sentido opuesto a la dirección del movimiento, ¿cuál es la velocidad de la barra en estado estacionario?

b) Si la barra se desplaza hacia una región donde la densidad de flujo baja a 0.45 (T), ¿qué le ocurre a la barra? ¿Cuál es su velocidad final en estado estacionario?

c) Suponga que V_B disminuye a 100 V y las demás condiciones del inciso b) se mantienen constantes. ¿Cuál es la nueva velocidad de la barra en estado estacionario?

d) De acuerdo con los resultados de los incisos b) y c), identifique cuáles son los dos métodos para controlar la velocidad de una máquina lineal (o de un motor real de cd).

Solución a).

Con una carga de 20 N opuesta a la dirección del movimiento, el flujo de corriente en estado estacionario en la barra estará dado de la siguiente manera. Por la primera ley de Newton

\sum{F} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} - \overrightarrow{F}_{carga} + \overrightarrow{F}_{ind} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

0 = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

\overrightarrow{F}_{ind} = \overrightarrow{F}_{carga}

i \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{F}_{carga}

i \ l \ B \sin{\theta} = F_{carga}

\displaystyle i = \frac{F_{carga}}{l \ B \sin{\theta}}

\displaystyle i = \frac{20 \ N}{(0.5 \ m)(0.5 \ T) \sin{90}}

i = 80 \ A

Por ley de voltaje de Kirchhoff, el valor del voltaje inducido en la barra es

\sum{V} = 0

iR + e_{ind} - V_B = 0

e_{ind} = V_B - iR

e_{ind} = 120 \ V - (80 \ A)(0.25 \Omega)

e_{ind} = 100 \ V

La velocidad de la barra en estado estacionario es

\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

\displaystyle 0 = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

0 = V_B - e_{ind}

e_{ind} = V_B

(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{l} = e_{ind}

\displaystyle v \ B \ l \sin{\theta} = e_{ind}

\displaystyle v_{ee} = \frac{e_{ind}}{B \ l \sin{\theta}}

\displaystyle v_{ee} = \frac{100 \ V}{(0.5 \ T) \ (0.5 \ m) \sin{90}}

\therefore v_{ee} = 400 \ m/s

Solución b).

Una vez más, por la primera ley de Newton

\sum{F} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} - \overrightarrow{F}_{carga} + \overrightarrow{F}_{ind} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

0 = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

\overrightarrow{F}_{ind} = \overrightarrow{F}_{carga}

i \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{F}_{carga}

i \ l \ B \sin{\theta} = F_{carga}

\displaystyle i = \frac{F_{carga}}{l \ B \sin{\theta}}

\displaystyle i = \frac{20 \ N}{(0.5 \ m)(0.45 \ T) \sin{90}}

i = 88.89 \ A

Por ley de voltaje de Kirchhoff, el valor del voltaje inducido en la barra es

\sum{V} = 0

iR + e_{ind} - V_B = 0

e_{ind} = V_B - iR

e_{ind} = 120 \ V - (88.89 \ A)(0.25 \Omega)

e_{ind} = 97.78 \ V

La velocidad de la barra en estado estacionario es

\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

\displaystyle 0 = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

0 = V_B - e_{ind}

e_{ind} = V_B

(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{l} = e_{ind}

\displaystyle v \ B \ l \sin{\theta} = e_{ind}

\displaystyle v_{ee} = \frac{e_{ind}}{B \ l \sin{\theta}}

\displaystyle v_{ee} = \frac{97.78 \ V}{(0.45 \ T) \ (0.5 \ m) \sin{90}}

\therefore v_{ee} = 434.58 \ m/s

Solución c).

Por la primera ley de Newton

\sum{F} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} - \overrightarrow{F}_{carga} + \overrightarrow{F}_{ind} = 0

\overrightarrow{F}_{neta} = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

0 = \overrightarrow{F}_{carga} - \overrightarrow{F}_{ind}

\overrightarrow{F}_{ind} = \overrightarrow{F}_{carga}

i \cdot (\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{F}_{carga}

i \ l \ B \sin{\theta} = F_{carga}

\displaystyle i = \frac{F_{carga}}{l \ B \sin{\theta}}

\displaystyle i = \frac{20 \ N}{(0.5 \ m)(0.45 \ T) \sin{90}}

i = 88.89 \ A

Por ley de voltaje de Kirchhoff, el valor del voltaje inducido en la barra es

\sum{V} = 0

iR + e_{ind} - V_B = 0

e_{ind} = V_B - iR

e_{ind} = 100 \ V - (88.89 \ A)(0.25 \Omega)

e_{ind} = 77.78 \ V

La velocidad de la barra en estado estacionario es

\displaystyle i = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

\displaystyle 0 = \frac{V_B - e_{ind}}{R}

0 = V_B - e_{ind}

e_{ind} = V_B

(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{l} = e_{ind}

\displaystyle v \ B \ l \sin{\theta} = e_{ind}

\displaystyle v_{ee} = \frac{e_{ind}}{B \ l \sin{\theta}}

\displaystyle v_{ee} = \frac{77.78 \ V}{(0.45 \ T) \ (0.5 \ m) \sin{90}}

\therefore v_{ee} = 345.69 \ m/s

Solución d).

De los resultados obtenidos anteriormente, se pudo observar que hay dos métodos para controlar la velocidad de una máquina lineal. El primer método es reducir la densidad de flujo (B) de la máquina para incrementar su velocidad en estado estacionario mientras que el segundo método consiste en reducir el voltaje de la batería para disminuir esa velocidad en estado estacionario.

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