Definiciones. Ecuaciones diferenciales.

Introducción

Una ecuación diferencial es cualquier ecuación en la que aparecen una o varias variables independientes, una variable dependiente de ella o de ellas y derivadas de esas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.

Tipos de ecuaciones diferenciales

Existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como son:

Ecuación diferencial ordinaria. Se presenta cuando la función incógnita sólo depende de una variable independiente. Puede presentarse de dos formas:

a) $F(x,y(x), y'(x), \cdots , y^{n)} (x)) = 0$ . Ecuación en forma implícita: no aparece despejada la derivada de mayor orden $y^{n)} (x)$ . Por ejemplo:

$x^2 y^{''} - 3xy = 0$ , $y^{'''} + 4x^2y'+5y \ \cos{x} = 0$

b) $y^{n)} = f(x, y(x), y'(x), \cdots , y^{n)}(x))$ . Ecuación en forma normal: aparece despejada la derivada de mayor orden $y^{n)}(x)$ . Por ejemplo:

$y^{''}=4xy + \sin{x}$ , $y^{'''}=-6xy^{''}-\cos{x}$

Ecuación diferencial en derivadas parciales. Es aquella donde la función incógnita depende de varias variables independientes. Este tipo de ecuaciones aparecen en derivadas parciales de la función incógnita respecto de las variables independientes. Por ejemplo:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial^2 x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 0$

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales también pueden aparecer en forma implícita y forma normal.

¿Qué es el orden en una ecuación diferencial?

Se llama orden aquella ecuación diferencial al orden de la mayor derivada que aparece en la ecuación, es decir, es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella. Por ejemplo:

1.- $\displaystyle \frac{dy}{dx} = x+5$

Esta ecuación diferencial es de primer orden.

2.- $\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} + 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 0$

Esta ecuación diferencial es de segundo orden

3.- $y^{'''} + 2(y^{''})^2 + y^{'} = \cos{x}$

Esta ecuación diferencial es de tercer orden.

4.- $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = z + x \frac{\partial z}{\partial y}$

Esta ecuación diferencial es de primer orden.

5.- $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2 + y$

Esta ecuación diferencial es de segundo orden.

¿Qué es el grado en una ecuación diferencial?

Se llama grado de una ecuación diferencial al exponente, si es un número natural, al que está elevada la derivada de mayor orden que aparece en ella. Si esta derivada está elevada a un exponente no natural no es posible definir el grado de la ecuación.

1.- $x^2 y^{''} + 2x y^{'} + 2x = 0$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y primer grado en forma implícita.

2.- $y^{'''} = 3y^{''} - \sin{(x-1)}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y primer grado en forma normal.

3.- $(y^{''})^2 = 4x[1-(y^{'})^2]^6$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y de segundo grado.

4.- $(y^{'''})^3 = \cos{x} + ye^{x}$

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y tercer grado.

5.- $\displaystyle \frac{d^2 v}{dx^2} \ \frac{dv}{dx} + x \left(\frac{dv}{dx} \right)^2 + v = 0$

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden y de primer grado.

6.- $\displaystyle \left(\frac{d^3 w}{dv^3} \right)^2 - \left(\frac{d^2 w}{dv^2} \right)^{4} + v w = 0$

Esta es una ecuación diferencial de tercer orden y de segundo grado.

7.- $\displaystyle e^{y^{'''}} - xy^{''} + y =0$

Esta es una ecuación diferencial de tercer orden y no aplica el grado.

Origen de la ecuaciones diferenciales

Muchas leyes físicas de la naturaleza, así como problemas geométricos, mecánicos, entre otros, se rigen por ecuaciones diferenciales. En el caso de problemas geométricos, un ejemplo sería definir una cura por la condición de que en cada uno de sus puntos $(x,y)$ su pendiente $\displaystyle m=\frac{dy}{dx}$ es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto; la expresión de esa condición en una ecuación diferencial es

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=2(x+y)$

Para el caso de un problema físico sería que con cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aún no se ha convertido; si se expresa la velocidad de conversión en $t$ minutos en una ecuación diferencial sería

$\displaystyle \frac{dq}{dt} = k (100 - q)$

Donde $q$ representa el número de gramos convertidos en $t$ minutos, $(100 - q)$ es el número de gramos aún no convertidos, $\displaystyle \frac{dq}{dt}$ es la velocidad de conversión y $k$ es la constante de proporcionalidad.

Ahora, una relación entre las variables que contenga $n$ constantes arbitratias, como $y=x^4 + Cx$ o $y = Ax^2 + Bx$ , se llama una primitiva. Las $n$ constantes, que siempre se representan como letras mayúsculas, se llaman esenciales si no se pueden sustituir por un número menor de constantes.

En general, de una primitiva que contenga $n$ constantes arbitrarias esenciales se puede deducir una ecuación diferencial, de orden $n$ , libre de constantes arbitrarias. Esta ecuación se obtiene eliminando las $n$ constantes entre las $(n+1)$ ecuaciones siguientes: la primitiva y las $n$ ecuaciones derivando la primitiva $n$ veces con respecto a la variable independiente. Por ejemplo, en la primitiva $y = Ax^2 + Bx + C$ , se deriva las veces indicadas