Ecuación diferencial lineal y solución. Ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden $n$ es una ecuación en la que la derivada n-esima de la variable $y$ es una función lineal de las demás derivadas y de la propia función $y$ , es decir, es de la forma:

$\displaystyle a_n (x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1} (x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + a_{1} (x) \frac{dy}{dx} + a_0 (x) \ y = b(x)$

En una ecuación lineal de orden $n$ sólo puede aparecer la primera potencia de la variable $y$ , y de sus diversas derivadas. No pueden aparecer productos de dicha variable con sus derivadas o de las derivadas entre sí, ni funciones trascendentes de $y$ ni de sus derivadas. Si se diera alguna de estas situaciones se perdería la linealidad. A continuación se muestran algunos ejemplos:

1.- $\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} + 5 \frac{dy}{dx} + 6y = 0$

Esta ecuación diferencial es lineal porque en la misma sólo aparece la primera potencia de la variable $y$ y de sus dos primeras derivadas.

2.- $\displaystyle \left[ \frac{d^2 y}{dx^2} \right]^3 + 5y \frac{dy}{dx} + 6y^2 = 0$

Esta ecuación diferencial no es lineal porque en la ecuación aparece la tercera potencia de la segunda derivada de la $y$ , un producto de la $y$ por su primera derivada, y la propia variable $y$ elevada al cuadrado.

3.- $x \tan{y} + y' = x +\cos{x}$

Esta ecuación diferencial no es lineal porque en la ecuación la variable $y$ aparece como argumento de la función tangente.

Solución

Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria a toda función $y=f(x)$ que satisface dicha ecuación diferencial. El proceso de hallar las soluciones de una ecuación diferencial se denomina integrar la ecuación.

Solución general

Es el conjunto de todas las funciones que verifican la ecuación diferencial. En general, son familias n-paramétricas de curvas siendo $n$ el orden de la ecuación. Cuando existe alguna solución que no pertenece a dicha familia, entonces esta función recibe el nombre de solución singular.

Solución particular

Es la función cualquiera que satisfaga una ecuación diferencial. Puede obtenerse fijando el valor de las constantes en la familia de funciones solución de la ecuación.

Ejemplos aplicados a la solución

1.- La solución general de la ecuación $y' + y =0$ es el conjunto de funciones $y=Ce^x$ , que es una familia de funciones dependiente de un solo parámetro. Una solución particular de dicha ecuación es $y=e^x$ .

2.- Puede comprobarse que la familia $\displaystyle y = \left[\frac{2}{3}x + C \right]^{3/2}$ pertenece a la solución general para la la ecuación diferencial $y' = y^{1/3}$ . La función $y=0$ es también solución de ella y no pertenece a la familia dada, por lo que constituye una solución singular de la ecuación.

En la mayoría de los casos, determinar la solución particular de una ecuación diferencial consistirá en resolver un problema de valores iniciales o un problema de contorno.

Problemas de valor inicial y de contorno

Una de las aplicaciones prácticas más importantes de las ecuaciones diferenciales aparece en problemas con una ecuación y una o más condiciones (en función del orden de la ecuación) que ha de verificar la solución de la ecuación dada; es decir, se necesita determinar una solución particular de dicha ecuación. Si todas las condiciones del problema se refieren a un mismo valor $x$ , se denomina problema con condiciones, valores iniciales o problemas de Cauchy. Por ejemplo