Ecuaciones lineales y ecuaciones reducibles a lineales. Ecuaciones diferenciales.

La ecuación

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + y \cdot P(x) = Q(x)$ – – – – – (1)

cuyo miembro de la izquierda es lineal tanto en la variable dependiente como en su derivada, se llama una ecuación lineal de primer orden.

Como

$\displaystyle \frac{d}{dx} [y e^{\int{P(x) dx}}] = \frac{dy}{dx} e^{\int{P(x) dx}} + y \cdot P(x) e^{\int{P(x) dx}} = e^{\int{P(x) dx}}(\frac{dy}{dx} + y \cdot P(x))$

es un factor integrante de (1) y su primitiva es

$\displaystyle y \cdot e^{\int{P(x) dx}} =\int{Q(x) e^{\int{P(x) dx}}dx} + C_1$

Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación de la forma

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + y \cdot P(x) = y^n Q(x)$

$\displaystyle y^{-n} \frac{dy}{dx} + y^{-n+1} \cdot P(x) = Q(x)$

Se reduce a la forma (1), a saber

$\displaystyle \frac{dv}{dx} + v \cdot (1-n) \cdot P(x) = (1-n) Q(x)$

mediante la transformación

$v = y^{-n+1}$ , $\displaystyle y^{-n} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n} \cdot \frac{dv}{dx}$

Otras ecuaciones.

Se puede reducir a la forma (1) mediante transformaciones apropiadas.

Problemas resueltos.

Problema 1. Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x$ .

Solución. Se identifican las funciones de la ecuación diferencial $P(x) = 2x$ y $Q(x) = 4x$ . Determinando el factor integrante

$\displaystyle e^{\int{P(x) \ dx}} = e^{\int{2x \ dx}} = e^{x^2}$

Continuando

$\displaystyle y e^{\int{P(x) \ dx}} = \int{Q(x) \cdot e^{\int{P(x) \ dx}} \ dx} + C$

$\displaystyle y e^{x^2} = \int{2x \cdot e^{x^2} \ dx} + C$

$\displaystyle y e^{x^2} = e^{x^2} + C$

$\displaystyle y = \frac{1}{e^{x^2}} \left(e^{x^2} + C \right)$

$\displaystyle \therefore y = e^{x^2} + Ce^{-x^2}$

Problema 2. Resolver $\displaystyle (x-2) \frac{dy}{dx} = y + 2(x-3)^3$ .

Solución. Haciendo que la derivada tenga un coeficiente unitario, se multiplica el inverso de $(x-2)$ .

$\displaystyle \frac{1}{(x-2)} \left[(x-2) \frac{dy}{dx} = y + 2(x-2)^3 \right]$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{(x-2)} + \frac{2(x-2)^3}{(x-2)}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{1}{(x-2)} y = 2(x-2)^2$

Esta ecuación diferencial es de primer orden y lineal. Las funciones a tomar son $\displaystyle P(x) = - \frac{1}{(x-2)}$ y $Q(x) = 2(x-2)^2$ . Determinando el factor integrante

$\displaystyle e^{\int{P(x) \ dx}} = e^{-\int{\frac{1}{(x-2)} \ dx}} = e^{- \ln{(x-2)}} = \frac{1}{(x-2)}$

Continuando

$\displaystyle y e^{\int{P(x) \ dx}} = \int{Q(x) \cdot e^{\int{P(x) \ dx}} \ dx} + C$

$\displaystyle y \cdot \frac{1}{(x-2)} = \int{2(x-2)^2 \cdot \frac{1}{(x-2)} \ dx} + C$

$\displaystyle y \cdot \frac{1}{(x-2)} = 2 \int{(x-2) \ dx} + C$

$\displaystyle y = (x-2) \left[(x-2)^2 + C \right]$

$\displaystyle \therefore y = (x-2)^3 + C(x-2)$

Problema 2. Resolver $\displaystyle \frac{dy}{dx} - y = xy^5$ .

Solución. La ecuación diferencial pertenece a la ecuación de Bernouilli, así que es necesario que el término $y^5$ desaparezca del segundo miembro. Para ello se realiza lo siguiente

$\displaystyle \frac{1}{y^5} \left[\frac{dy}{dx} - y = xy^5 \right]$

$\displaystyle \frac{1}{y^5} \frac{dy}{dx} - \frac{y}{y^5} = \frac{xy^5}{y^5}$

$\displaystyle y^{-5} \frac{dy}{dx} - y^{-4} = x$

Utilizando la siguiente transformación

$v = y^{-4}$

$\displaystyle - \frac{1}{4} \frac{dv}{dx} = y^{-5} \frac{dy}{dx}$

Se sustituye en la ecuación diferencial

$\displaystyle - \frac{1}{4} \frac{dv}{dx} - v = x$

Haciendo que la primera derivada tenga un coeficiente unitario positivo

$\displaystyle (-4) \left[-\frac{1}{4} \frac{dv}{dx} - v = x \right]$

$\displaystyle \frac{dv}{dx} + 4v = -4x$

Esta ecuación diferencial es lineal y de primer orden. Las funciones a tomar son $P(x) = 4$ y $Q(x) = -4x$ , respectivamente. Determinando el factor integrante

$e^{\int{P(x) \ dx}} = e^{\int{4 dx}} = e^{4x}$

Continuando

$\displaystyle v e^{\int{P(x) \ dx}} = \int{Q(x) \cdot e^{\int{P(x) \ dx}}} + C$

$\displaystyle v e^{4x} = \int{(-4x) \cdot e^{4x}} + C$

$\displaystyle v e^{4x} = -4 \int{x e^{4x}} + C$

Resolviéndolo por el método de integración por parte

$\displaystyle v e^{4x} = -4 \left(\frac{1}{4} x e^{4x} - \frac{1}{16} e^{4x} \right) + C$

$\displaystyle v e^{4x} = - xe^{4x} + \frac{1}{4} e^{4x} + C$

Recordando que $v=y^{-4}$

$\displaystyle y^{-4} e^{4x} = -xe^{4x} + \frac{1}{4} e^{4x} + C$

$\displaystyle \frac{1}{y^4} = \frac{1}{e^{4x}} \left[-x e^{4x} + \frac{1}{4} e^{4x} + C \right]$

$\displaystyle \therefore \frac{1}{y^4} = - x + \frac{1}{4} + Ce^{-4x}$

Problema 4. Resolver $\displaystyle \sin{y} \frac{dy}{dx} = \cos{x} (2 \cos{y} - \sin^2{x})$ .

Problema. Realizando un acomodo a la ecuación diferencial

$\displaystyle \sin{y} \frac{dy}{dx} = 2 \cos{x} \cos{y} - \sin^2{x} \cos{x}$

$\displaystyle \sin{y} \frac{dy}{dx} - 2 \cos{x} \cos{y} = - \sin^2{x} \cos{x}$

$\displaystyle - \sin{y} \frac{dy}{dx} + 2 \cos{x} \cos{y} = \sin^2{x} \cos{x}$

Se realizó este acomodo de términos para que sea similar a la forma general

$\displaystyle f'(y) \frac{dy}{dx} + f(y) P(x) = Q(x)$

Identificando $f(y)$ y derivándolo

$f(y) = \cos{y}$ , $\displaystyle f'(y) = - \sin{y} \frac{dy}{dx}$

Realizando la siguiente transformación

$v = \cos{y}$ , $\displaystyle \frac{dv}{dx} = - \sin{y} \frac{dy}{dx}$

Aplicándolo en la ecuación diferencial

$\displaystyle \frac{dv}{dx} + 2 \cos{x} = 2 \sin^{2}{x} \cos{x}$

Esto es una ecuación diferencial lineal y de primer orden. Identificando las funciones $P(x) = 2 \cos{x}$ y $Q(x) = 2 \sin^2{x} \cos{x}$ , se determina el factor integrante

$\displaystyle e^{\int{P(x) \ dx}} = e^{\int{2 \cos{x} \ dx}} = e^{2 \sin{x}}$

Continuando

$\displaystyle v e^{\int{P(x) \ dx}} = \int{Q(x) \cdot e^{P(x) \ dx} \ dx} + C$

$\displaystyle v e^{2 \sin{x}} = \int{2\sin^2{x} \cos{x} \cdot \frac{1}{e^{2 \sin{x}}} \ dx} +C$

$\displaystyle v e^{2 \sin{x}} = 2 \int{\sin^2{x} \cos{x} \cdot e^{2 \sin{x}}} + C$

$\displaystyle v = \frac{1}{e^{2 \sin{x}}} \left[ \frac{1}{2}e^{2 \sin{x}} \sin^2{x} - \frac{1}{2}e^{2 \sin{x}} \sin{x} + \frac{1}{4} e^{2 \sin{x}} + C \right]$

$\displaystyle v = \frac{1}{2} \sin^2{x} - \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{1}{4} + Ce^{-2 \sin{x}}$

Recordando que $v = \cos{x}$ , la primitiva es

$\therefore \cos{y} = \frac{1}{2} \sin^2{x} - \frac{1}{2} \sin{x} + \frac{1}{4} + Ce^{-2 \sin{x}}$

Problema 5. Resolver $x \sin{\theta} \ d\theta + (x^3 - 2x^2 \cos{\theta} + \cos{\theta}) \ dx =0$ .

Solución. Realizando un acomodo en los términos

$\displaystyle x \sin{\theta} \ d\theta + x^3 \ dx - 2x^2 \cos{\theta} \ dx + \cos{\theta} \ dx= 0$

$\displaystyle x \sin{\theta} \ d\theta + \cos{\theta} \ dx + x^3 \ dx - 2x^2 \cos{\theta} \ dx = 0$

$\displaystyle x \sin{\theta} \ d\theta + \cos{\theta} \ dx + x^2(x \ dx - 2 \cos{\theta} \ dx) = 0$

$\displaystyle \frac{x \sin{\theta} \ d\theta + \cos{\theta} \ dx}{x^2} + (x \ dx - 2 \cos{\theta} \ dx) = 0$

$\displaystyle - \frac{x \sin{\theta} \ d\theta + \cos{\theta} \ dx}{x^2} + (2 \cos{\theta} \ dx - x \ dx) = 0$

$\displaystyle d \left(\frac{\cos{\theta}}{x} \right) + (2 \cos{\theta} \ dx - x \ dx) = 0$

Haciendo que $\displaystyle y= \frac{\cos{\theta}}{x}$ , resulta lo siguiente

$dy + (2 \cdot xy \ dx - x \ dx) = 0$

$dy + 2xy \ dx - x \ dx = 0$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy - x = 0$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2xy = x$

Esta ecuación se redujo a una ecuación diferencial lineal de primer orden. Identificando las funciones $P(x) = 2x$ y $Q(x) = x$ , se determina el factor integrante