Transformadores. Problema 5. Máquinas eléctricas.

Problema. Se prueba un transformador de 1000 (VA) y 230/115 (V) para determinar su circuito equivalente. Los resultados de la prueba se muestran a continuación

Prueba de circuito abierto (en el lado secundario)	Prueba de cortocircuito (en el lado primario)
$V_{CAb} = 115 \ (V)$	$V_{CC} = 17.1 \ (V)$
$I_{CAb} = 0.11 \ (A)$	$I_{CC} = 8.7 \ (A)$
$P_{CAb} = 3.9 \ (W)$	$P_{CC} = 38.1 \ (W)$

a) Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de bajo voltaje del transformador.

b) Especifique la regulación del voltaje del transformador en condiciones nominales y 1) $FP=0.8$ en retraso, $FP = 1.0$ y $FP = 0.80$ en adelanto.

c) Determine la eficiencia del transformador en condiciones nominales y un $FP = 0.80$ en retraso.

Solución a). El circuito de un transformador es el siguiente

Figura 2.5.1 Circuito que representa un transformador

Ahora, haciendo que el transformador sea referido al lado de bajo voltaje

Figura 2.5.2 Transformador referido al lado de bajo voltaje.

Reduciendo un poco más este circuito

Figura 2.5.3 Modelo equivalente del transformador referido al lado de bajo voltaje.

La relación de vueltas del transformador es

$\displaystyle a = \frac{V_P}{V_S} = \frac{230}{115}$

$a = 2$

El ángulo de impedancia de circuito abierto es

$\displaystyle \theta_{CAb} = \cos^{-1}{\left(\frac{P_{CAb}}{V_{CAb} I_{CAb}} \right)}$

$\displaystyle \theta_{CAb} = \cos^{-1}{\left(\frac{3.9}{(115)(0.11)} \right)}$

$\displaystyle \theta_{CAb} = 72.04$ °

La admitancia de excitación es

$\displaystyle Y_E = \frac{I_{CAb}}{V_{CAb}} \angle \theta_{CAb}$

$\displaystyle Y_E = \frac{0.11}{115} \angle (-72.04) \ (S)$

$Y_E = 0.957 \times 10^{-3} \angle (-72.04) \ (S) = 0.295\times 10^{-3} - j0.910 \times 10^{-3} \ (S)$

Es necesario conocer los valores de cada elemento de la rama de excitación, para ello, por parte de la admitancia

$Y_E = G_C + jB_M$

se sabe que

$\displaystyle G_C = \frac{1}{R_C} \rightarrow R_C = \frac{1}{G_C}$

$\displaystyle R_C = \frac{1}{0.295 \times 10^{-3}} = 3389.831 \ (\Omega)$

$\displaystyle B_M = \frac{1}{X_M} \rightarrow X_M = \frac{1}{B_M}$

$\displaystyle X_M = \frac{1}{0.910 \times 10^{-3}} = 1098.901 \ (\Omega)$

Los elementos de la rama de excitación deben estar referidos al lado de bajo voltaje, así que

$\displaystyle R_{N,S} = \frac{R_C}{a^2} = \frac{3389.831}{2^2} = 847.458 \ (\Omega)$

$\displaystyle X_{M,S} = \frac{X_M}{a^2} = \frac{1098.901}{2^2} = 274.725 \ (\Omega)$

Después, determinando la impedancia de cortocircuito

$\displaystyle \theta_{CC} = \cos^{-1}{\left(\frac{P_{CC}}{V_{CC} I_{CC}} \right)}$

$\displaystyle \theta_{CC} = \cos^{-1}{\left(\frac{38.1}{(17.1)(8.7)} \right)}$

$\displaystyle \theta_{CC} = 75.16$ °

La impedancia en serie equivalente se determina de la siguiente manera

$\displaystyle Z_{SE} = \frac{V_{CC}}{I_{CC}} \angle \theta_{CC}$

$\displaystyle Z_{SE} = \frac{17.1}{8.7} \angle 75.16 = 1.966 \angle 75.16 \ (\Omega)$

$\displaystyle Z_{SE} = 0.504 + j1.9 \ (\Omega)$

Donde

$R_{eq} = 0.504 \ (\Omega)$

$X_{eq} = 1.9 \ (\Omega)$

Los elementos que pertenecen a la impedancia en serie equivalente deben estar referidos al lado de bajo voltaje, por lo que

$\displaystyle R_{eq,S} = \frac{R_{eq}}{a^2} = \frac{0.504}{2^2} = 0.216 \ (\Omega)$

$\displaystyle X_{eq,S} = \frac{X_{eq}}{a^2} = \frac{1.9}{2^2} = 0.475 \ (\Omega)$

Y su impendacia es

$\displaystyle Z_{SE,S} = R_{eq,S} + jX_{eq,S} = 0.216 + j0.475 \ (\Omega)$

Teniendo todos estos datos, de la figura 2.5.3, se añade lo siguiente como resultado final.

Figura 2.5.5 Circuito referido al lado de bajo voltaje mostrando los datos calculados del inciso a).

Solución b). Para encontrar la regulación de voltaje requerido se usará el circuito equivalente del transformador referido al lado de bajo voltaje de la figura 2.5.5.

La corriente nominal del secundario es

$\displaystyle I_{S,nominal} = \frac{S_{nominal}}{V_{S,nominal}}$

$\displaystyle I_{S,nominal} = \frac{1000 \ (VA)}{115 (V)}$

$\displaystyle I_{S,nominal} = 8.696 \ (A)$

Después, tomando la fórmula para calcular el voltaje primario referido al lado secundario

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = \boldsymbol{V_S} + R_{eq,S} \boldsymbol{I_{S}} + jX_{eq,S} \boldsymbol{I_{S}}$

Para un $FP = 0.8$ en retraso. El ángulo tiene el siguiente valor

$\theta = \cos^{-1}(0.8) = 36.87$ °

Y la corriente es

$\boldsymbol{I_{S}} = I_{S,nominal} \angle (- \theta) \ (A) = 8.696 \angle (-36.87) \ (A)$

El voltaje primario referido al lado de bajo voltaje es

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle (-36.87)) + j0.475(8.696 \angle (-36.87))$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle (-36.87)) + (0.475 \angle 90)(8.696 \angle (-36.87))$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + 1.096 \angle (-36.87) + 4.131 \angle 53.13$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 + j0 + 0.877 - j0.658 + 2.479 + j3.305 = 118.356 + j2.647$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 118.386 \angle 1.28 \ (V)$

Su regulación de voltaje es

$\displaystyle RV = \frac{\frac{V_P}{a} - V_S}{V_S} \times 100$ %

$\displaystyle RV = \frac{118.386 - 115}{115} \times 100$ %

$\displaystyle \therefore RV = 2.94$ %

Para un $FP = 1.0$ . El ángulo tiene el siguiente valor

$\theta = \cos^{-1}(0) = 0$ °

Y la corriente es

$\boldsymbol{I_{S}} = I_{S,nominal} \angle (- \theta) \ (A) = 8.696 \angle 0 \ (A)$

El voltaje primario referido al lado de bajo voltaje es

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle 0 + j0.475(8.696 \angle 0)$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle 0) + (0.475 \angle 90)(8.696 \angle 0)$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + 1.096 \angle 0 + 4.131 \angle 90$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 + j0 + 1.096 + j0 + 0 + j4.131 = 116.096 + j4.131$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 116.169 \angle 2.04 \ (V)$

Su regulación de voltaje es

$\displaystyle RV = \frac{\frac{V_P}{a} - V_S}{V_S} \times 100$ %

$\displaystyle RV = \frac{116.169 - 115}{115} \times 100$ %

$\displaystyle \therefore RV = 1.02$ %

Para un $FP = 0.8$ en adelanto. El ángulo tiene el siguiente valor

$\theta = \cos^{-1}(0.8) = 36.87$ °

Y la corriente es

$\boldsymbol{I_{S}} = I_{S,nominal} \angle \theta \ (A) = 8.696 \angle 36.87 \ (A)$

El voltaje primario referido al lado de bajo voltaje es

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle 36.87) + j0.475(8.696 \angle 36.87)$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + (0.126)(8.696 \angle 36.87) + (0.475 \angle 90)(8.696 \angle 36.87)$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 \angle 0 + 1.096 \angle 36.87 + 4.131 \angle 126.87$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 115 + j0 + 0.877 + j0.658 - 2.479 + j3.305 = 113.398 + j3.305$

$\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 113.446 \angle 1.66 \ (V)$

Su regulación de voltaje es

$\displaystyle RV = \frac{\frac{V_P}{a} - V_S}{V_S} \times 100$ %

$\displaystyle RV = \frac{113.446 - 115}{115} \times 100$ %

$\displaystyle \therefore RV = -1.35$ %

Solución c). Para este último inciso, tomando los datos calculados en los incisos anteriores y brindados por el problema ( $I_S = 8.969$ , $FP = 0.80$ , $V_S = 115$ , $R_{eq,S} = 0.216$ , $\displaystyle \frac{\boldsymbol{V_P}}{a} = 118.386 \angle 1.28$ ), primero se determina la potencia de salida