Problema. Si el ángulo de elevación del sol en un momento dado es de 30° y va disminuyendo en la tarde a razón de ¼ (rad/hr), hallar a que velocidad se desplaza en el suelo la sombra de una torre de 80(m) de altura.

Figura 3.5.1 Descripción del problema.

Solución. Por trigonometría

Figura 3.5.2 Triángulo rectángulo obtenido de la figura 3.5.1.

\displaystyle \tan{\theta} = \frac{80}{x}

Despejando x

\displaystyle x = \frac{80}{\tan{\theta}}

Esta es la ecuación estática.

Derivando la función con respecto a “t”

\displaystyle x = \frac{80}{\tan{\theta}}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{80}{\tan{\theta}} )

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 80 \frac{d}{dt} [(\tan{\theta})^{-1}]

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 80(-1) (\tan{\theta})^{-2}  \frac{d}{dt} (\tan{\theta})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 80(-1) (\tan{\theta})^(-2) \sec^2{\theta} \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = - (80) \frac{\sec^2{\theta}}{(\tan{\theta})^2} \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left(\frac{\sec^2{\theta}}{\tan^2{\theta}} \right)  \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left(\frac{\frac{1}{\cos^2{\theta}}}{\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}}} \right) \cdot \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left(\frac{1}{\sin^2{\theta}} \right) \frac{d\theta}{dt}

Esta resultado representa la ecuación cinemática.

Para obtener el resultado final, se realiza la sustitución siguiente donde \displaystyle \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{4} \  (rad/hr) y θ=30°.

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left( \frac{1}{\sin^2{\theta}} \right) \frac{d\theta}{dt}

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left( \frac{1}{\sin^2{30}} \right) (\frac{1}{4})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left[\frac{1}{(\sin{30})^2} \right] (\frac{1}{4})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left[\frac{1}{(1/2)^2} \right] (\frac{1}{4})

\displaystyle \frac{dx}{dt} = -80 \left(\frac{1}{1/4} \right) (\frac{1}{4}) = -80(4)(\frac{1}{4})

\displaystyle \therefore \frac{dx}{dt} = -80 \ (m/hr)

Por lo tanto, la sombra de la torre avanza a razón de 80 (m/hr).

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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