El cono sumergido en la arena. Razón de cambio. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Problema. Una pieza de forma de cono circular recto y cuyo ángulo en el vértice inferior es de 30° se sumerge en la arena de una playa a una velocidad constante de 2 (cm/seg), siendo el eje del cono perpendicular a la superficie de la arena, la cual es plana y horizontal.

¿A qué velocidad desaparece la superficie lateral de la pieza en la arena cuando el extremo o vértice está a 10 (cm) por debajo de la superficie de la arena?

*Figura 3.6.1 Representación gráfica del problema.*

Solución. Se observa que

*Figura 3.6.2 Análisis trigonométrico del cono.*

Para determinar la velocidad en que desaparecerá la superficie lateral del cono se toma en cuenta el área lateral del cono

$A = \pi r \ell$

Por lo que su superficie lateral es

$S= \pi r \ell$

Para determinar $\ell$ se utiliza teorema de Pitágoras

$\displaystyle h^2 + r^2 = \ell^2$

$\displaystyle \sqrt{h^2+r^2} = \ell$

$\displaystyle \ell = \sqrt{h^2+r^2}$

*Figura 3.6.4 Análisis trigonométrico del cono.*

Una vez más, en el triángulo rectángulo, se utilizan las identidades trigonométricas para reemplazar el equivalente del radio “ $r$ ”

$\displaystyle \tan{15} = \frac{r}{h}$

$\displaystyle r = h \tan{15}$

Realizando la sustitución de ℓ y $r$ en la ecuación de la superficie lateral de cono

$S = \pi r \ell$

$\displaystyle S = \pi r \sqrt{h^2+r^2}$

$\displaystyle S = \pi (h \tan{15}) \sqrt{h^2+(h \tan{15})^2}$

$\displaystyle S = \pi (h \tan{15}) \sqrt{h^2+h^2 \tan^2{15}}$

$\displaystyle S = (\pi \tan{15}) (h) \sqrt{h^2 (1+\tan^2{15})}$

$\displaystyle S = (\pi \tan{15}) (h) h \sqrt{1+\tan^2{15}}$

$\displaystyle S = (\pi \tan{15}) h^2 \sqrt{1 + \tan^2{15}}$

Usando la identidad trigonométrica $1+\tan^2{15} = \sec^2{15}$ y sustituyendo

$\displaystyle S = (\pi \tan{15}) h^2 \sqrt{\sec^2{15}}$

$\displaystyle S = (\pi \tan{15}) h^2 \sec{15}$

$\displaystyle S = \pi \tan{15} \cdot \sec{15} \cdot h^2$

Donde este resultado representa la ecuación estática.

Derivando en ambos miembros con respecto a $t$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt} (\pi \tan{15} \cdot \sec{15} \cdot h^2)$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = \pi \tan{15} \sec{15} \cdot \frac{d}{dt} (h^2)$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = \pi \tan{15} \sec{15} (2h \frac{dh}{dt})$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 2\pi \tan{15} \sec{15} \cdot h \frac{dh}{dt}$

Por lo que esta es la ecuación cinemática.

Para obtener el resultado deseado, se utilizan los valores $h=10$ y $\displaystyle \frac{dh}{dt} = 2$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 2\pi \tan{15} \sec{15} \cdot h \frac{dh}{dt}$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 2\pi \tan{15} \sec{15} \cdot (10)(2)$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 80\pi \tan{15} \sec{15}$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} = 80\pi \tan{15} \cdot \frac{1}{\cos{15}}$

$\displaystyle \frac{dS}{dt} \approx 34.859 \ (cm^2/seg)$

Por lo tanto, la superficie lateral del cono desaparece de la arena a razón de 34.859 $(cm^2/seg)$ .

El cono sumergido en la arena. Razón de cambio. Aplicaciones de cálculo diferencial.

Publicado por Cesar Reyes

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