Transformada de Laplace de la función de Bessel. Laplace.

Introducción

Se define una función de Bessel de orden $n$ por medio de

$\displaystyle J_n (t) = \frac{t^n}{2^n \Gamma (n+1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(2n+2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (2n+2)(2n+4)} - \cdots \right]$

Algunas propiedades importantes son

1.- $J_{-n} (t) = (-1)^n J_n (t)$ si $n$ es un entero positivo.

2.- $\displaystyle J_{n+1} (t) = \frac{2n}{t} J_n (t) - J_{n-1} (t)$ .

3.- $\displaystyle \frac{d}{dt} [t^n J_n (t)] = t^n J_{n-1} (t)$ . Si $n=0$ , se tiene $J_0'(t) = - J_1 (t)$ .

4.- $\displaystyle e^{\frac{1}{2} t(u - \frac{1}{u})} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{J_n(t) u^n}$ . Esta se llama la función generadora para las funciones de Bessel.

5.- $J(t)$ satisface la ecuación diferencial de Bessel, es decir,

$\displaystyle t^2 y''(t) + ty'(t) + (t^2-n^2) y(t) = 0$

Es conveniente definir $J_n(it) = i^{-n} \ I(t)$ ; $I(t)$ se llama la función modificada de Bessel de orden $n$ .

Demostración de la transformada de Laplace de la función Bessel de orden cero.

Partiendo de la función Bessel de orden n, se sabe que

$\displaystyle J_n (t) = \frac{t^n}{2^n \Gamma (n+1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(2n+2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (2n+2)(2n+4)} - \cdots \right]$

Cuando $n=0$

$\displaystyle J_0 (t) = \frac{t^0}{2^0 \Gamma (0+1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2[2(0)+2]} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 [2(0)+2][2(0)+4]} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_0 (t) = \frac{1}{(1) \Gamma (1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(0+2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (0+2)(0+4)} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_0 (t) = \frac{1}{\Gamma (1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (2)(4)} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_0 (t) = \frac{1}{1} \left[ 1 - \frac{t^2}{2^2} + \frac{t^4}{2^2 \ 4^4} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_0 (t) = 1 - \frac{t^2}{2^2} + \frac{t^4}{2^2 \ 4^4} - \cdots$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros, resulta que

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \mathcal{L} \left[ 1 - \frac{t^2}{2^2} + \frac{t^4}{2^2 \ 4^4} - \cdots \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \mathcal{L} [1] - \mathcal{L} \left[\frac{t^2}{2^2} \right] + \mathcal{L} \left[\frac{t^4}{2^2 \ 4^4} \right] - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \mathcal{L} [1] - \frac{1}{2^2} \mathcal{L} [t^2] + \frac{1}{2^2 \ 4^2} \mathcal{L} [t^4] - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} - \frac{1}{2^2} \cdot \frac{2!}{s^3} + \frac{1}{2^2 \ 4^2} \cdot \frac{4!}{s^5} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} - \frac{2!}{2^2} \cdot \frac{1}{s^3} + \frac{4!}{2^2 \ 4^2} \cdot \frac{1}{s^5} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} - \frac{2 \cdot 1}{2^2} \cdot \frac{1}{s^3} + \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2^2 \ 4^2} \cdot \frac{1}{s^5} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^3} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^5} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} - \cdots \right)$

Ahora, se sabe que el teorema del binomio es

$\displaystyle (1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2 - \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3 + \cdots$

Así que, aplicándolo en el procedimiento, se tiene lo siguiente

$\displaystyle 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} - \cdots = \left(1 + \frac{1}{s^2} \right)^{-1/2}$

Continuando

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} - \cdots \right)$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \left(1 + \frac{1}{s^2} \right)^{-1/2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{s^2} \right)^{1/2}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{s^2}}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \frac{1}{\sqrt{\frac{s^2 + 1}{s^2}}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \frac{1}{\frac{\sqrt{s^2 + 1}}{s}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{s} \frac{s}{\sqrt{s^2 + 1}}$

$\displaystyle \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}$

Se concluye que la transformada de Laplace de la función de Bessel de orden cero es

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [J_0 (t)] = \frac{1}{\sqrt{s^2 + 1}}$

Demostración de la transformada de Laplace de la función Bessel de orden uno.

Partiendo de la función Bessel de orden n, se sabe que

$\displaystyle J_n (t) = \frac{t^n}{2^n \Gamma (n+1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(2n+2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (2n+2)(2n+4)} - \cdots \right]$

Cuando $n=1$ , la función de Bessel se transforma en orden uno

$\displaystyle J_1 (t) = \frac{t^1}{2^1 \ \Gamma (1+1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2[2(1)+2]} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 [2(1)+2][2(1)+4]} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_1 (t) = \frac{t}{2\ \Gamma (2)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(2+2)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (2+2)(2+4)} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_1 (t) = \frac{t}{2 (1)} \left[ 1 - \frac{t^2}{2(4)} + \frac{t^4}{2 \cdot 4 (4)(6)} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_1 (t) = \frac{t}{2} \left[ 1 - \frac{t^2}{2 \cdot 4} + \frac{t^4}{2 \cdot 4^2 \cdot 6} - \cdots \right]$

$\displaystyle J_1 (t) = \frac{t}{2} - \frac{t^3}{2^2 \cdot 4} + \frac{t^5}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} - \cdots$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \mathcal{L} \left[\frac{t}{2} - \frac{t^3}{2^2 \cdot 4} + \frac{t^5}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} - \cdots \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \mathcal{L} \left[\frac{t}{2} \right] - \mathcal{L} \left[ \frac{t^3}{2^2 \cdot 4} \right] + \mathcal{L} \left[\frac{t^5}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} \right] - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \frac{1}{2} \mathcal{L} [t] - \frac{1}{2^2 \cdot 4} \mathcal{L} [t^3] + \frac{1}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} \mathcal{L} [t^5] - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1!}{s^2} - \frac{1}{2^2 \cdot 4} \cdot \frac{3!}{s^4} + \frac{1}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} \cdot \frac{5!}{s^6} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \frac{1!}{2} \cdot \frac{1}{s^2} - \frac{3!}{2^2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} + \frac{5!}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} \cdot \frac{1}{s^6} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} - \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2^2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} + \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6} \cdot \frac{1}{s^6} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} - \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{s^6} - \cdots$

Añadiendo un uno positivo y un uno negativo

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = 1 - 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} - \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} + \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{s^6} - \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = 1 - \left(1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} - \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{s^6} + \cdots \right)$

Conociendo el teorema del binomio

$\displaystyle (1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} x^2 - \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^3 + \cdots$

Así que, aplicándolo en el procedimiento, se tiene lo siguiente

$\displaystyle 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} + \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{s^4} - \cdots = \left(1 + \frac{1}{s^2} \right)^{-1/2}$

Continuando

$\displaystyle \mathcal{L}[J_1 (t)] = 1 - \left(1 + \frac{1}{s^2} \right)^{-1/2}$