Transformada de Laplace de la integral de la función seno, coseno y exponencial. Laplace.

Demostración de la transformada de Laplace de la integral de la función seno

Partiendo de la integral de la función seno

$\displaystyle \text{Is} (t) = \int_{0}^{t}{\frac{\sin{u}}{u} \ du}$

$\displaystyle \text{Is} (t) = \int_{0}^{t}{\frac{1}{u} \sin{u} \ du}$

Se sabe que la serie del seno es

$\displaystyle \sin{x} = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 + \cdots$

Aplicándolo en la integral y multiplicándolo

$\displaystyle \text{Is} (t) = \int_{0}^{t}{\frac{1}{u} \left(u - \frac{1}{3!} u^3 + \frac{1}{5!} u^5 - \frac{1}{7!} u^7 + \cdots \right) \ du}$

$\displaystyle \text{Is} (t) = \int_{0}^{t}{\left(1 - \frac{1}{3!} u^2 + \frac{1}{5!} u^4 - \frac{1}{7!} u^6 + \cdots \right) \ du}$

$\displaystyle \text{Is} (t) = [u]_{0}^{t} - \frac{1}{3!} \left[ \frac{1}{3} u^3 \right]_0^t + \frac{1}{5!} \left[\frac{1}{5} u^5 \right]_0^t - \frac{1}{7!} \left[\frac{1}{7} u^7 \right]_0^t + \cdots$

$\displaystyle \text{Is} (t) = t - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{7} t^7 + \cdots$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \mathcal{L} \left[t - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3} t^3 + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{7} t^7 + \cdots \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \mathcal{L} [t] - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3} \mathcal{L} [t^3] + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{5} \mathcal{L} [t^5] - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{7} \mathcal{L} [t^7] + \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1!}{s^2} - \frac{1}{3!} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3!}{s^4} + \frac{1}{5!} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{5!}{s^6} - \frac{1}{7!} \cdot \frac{1}{7} \cdot \frac{7!}{s^8} + \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{3s^4} + \frac{1}{5s^6} - \frac{1}{7s^8} + \cdots$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \left(\frac{1}{s} - \frac{1}{3s^3} + \frac{1}{5s^5} - \frac{1}{7s^7} + \cdots \right)$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \left(\frac{\frac{1}{s}}{1} - \frac{\frac{1}{s^3}}{3} + \frac{\frac{1}{s^5}}{5} - \frac{\frac{1}{s^7}}{7} + \cdots \right)$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \left[\frac{(\frac{1}{s})}{1} - \frac{(\frac{1}{s})^3}{3} + \frac{(\frac{1}{s})^5}{5} - \frac{(\frac{1}{s})^7}{7} + \cdots \right]$

La serie de la tangente inversa es

$\displaystyle \tan^{-1}{x} = \frac{x}{1} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

donde $|x|<1$ . Entonces

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \left[\frac{(\frac{1}{s})}{1} - \frac{(\frac{1}{s})^3}{3} + \frac{(\frac{1}{s})^5}{5} - \frac{(\frac{1}{s})^7}{7} + \cdots \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \tan^{-1}{\left(\frac{1}{s} \right)}$

Se concluye que la transformada de Laplace de la integral del seno es

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [\text{Is} (t)] = \frac{1}{s} \tan^{-1}{\left(\frac{1}{s} \right)}$

Demostración de la transformada de Laplace de la integral de la función coseno

La integral de la función coseno es

$\displaystyle \text{Ic} (t) = \int_{t}^{\infty}{\frac{\cos{u}}{u} \ du}$

Ahora, sea $\displaystyle f(t) = \int_{t}^{\infty}{\frac{\cos{u}}{u} \ du}$ . Después, $\displaystyle f'(t) = \frac{\cos{t}}{t}$ y $t f'(t) = \cos{t}$ . Entonces

$\displaystyle t f'(t) = \cos{t}$

Aplicando la transformada de Laplace en cada miembro, resulta

$\displaystyle \mathcal{L}[t f^{'}(t)] = \mathcal{L} [\cos{t}]$

$\displaystyle (-1)^{1} \frac{d}{ds} [s F(s) - f(0)]= \frac{s}{s^2+1}$

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s F(s) - 0]= \frac{s}{s^2+1}$

$\displaystyle - \frac{d}{ds} [s F(s)]= \frac{s}{s^2+1}$

$\displaystyle - d[s F(s)] = \frac{s}{s^2+1} \ ds$

$\displaystyle - \int{d[s F(s)]} = \int{\frac{s}{s^2+1} \ ds}$

$\displaystyle - s F(s) = \frac{1}{2} \ln{(s^2+1)} + c$

Para conocer el valor de la constante de integración, se utiliza el teorema del valor final. Así que

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{s F(s)} = \lim_{t \rightarrow \infty}{f(t)}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 0}{\left[\frac{1}{2} s \ln{(s^2+1)} + cs \right]} = \lim_{t \rightarrow \infty}{\int_{t}^{\infty}{\frac{\cos{u}}{u} \ du}}$

$\displaystyle \frac{1}{2} (0) \ln{(0^2+1)} + c= \int_{\infty}^{\infty}{\frac{\cos{u}}{u}}$

$\displaystyle c = 0$

Sustituyendo

$\displaystyle - s F(s) = \frac{1}{2} \ln{(s^2+1)} + c$

$\displaystyle - s F(s) = \frac{1}{2} \ln{(s^2+1)}$

Despejando $F(s)$

$\displaystyle F(s) = \frac{\frac{1}{2} \ln{(s^2+1)}}{-\frac{1}{s}}$

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{2s} \ln{(s^2+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [f(t)] = \frac{1}{2s} \ln{(s^2+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[\int_{t}^{\infty}{\frac{\cos{u}}{u} \ du} \right] = \frac{1}{2s} \ln{(s^2+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L} [\text{Ic} (t)] = \frac{1}{2s} \ln{(s^2+1)}$

Se concluye que la transformada de Laplace de la integral del coseno es

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [\text{Ic} (t)] = \frac{1}{2s} \ln{(s^2+1)}$

Demostración de la transformada de Laplace de la integral de la función exponencial

La integral de la función exponencial es

$\displaystyle \text{Ie} (t) = \int_{t}^{\infty}{\frac{e^{-u}}{u} \ du}$

Ahora, sea $\displaystyle f(t) = \int_{t}^{\infty}{\frac{e^{-u}}{u} \ du}$ . Después, $\displaystyle f'(t) = - \frac{e^{-t}}{t}$ y $t f'(t) = - e^{-t}$ . Entonces