Propiedades de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Propiedad de linealidad

Si $c_1$ y $c_2$ son constantes arbitrarias y $F_1 (s)$ y $F_2 (s)$ son las transformadas de Laplace de $f_1 (t)$ y $f_2 (t)$ , entonces,

$\mathcal{L}^{-1} [F_1 (s) + F_2 (s)] = c_1 \cdot \mathcal{L}^{-1}[F_1 (s)] + c_2 \cdot \mathcal{L}^{-1}[F_2 (s)]$

$\mathcal{L}^{-1} [F_1 (s) + F_2 (s)] = c_1 \cdot f_1 (t) + c_2 \cdot f_2 (t)$

Tambien se aplica para mas de dos funciones.

Primera propiedad de translacion

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\mathcal{L}^{-1}[F(s-a)] = e^{at} \cdot f(t)$

Segunda propiedad de translacion

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[e^{-as} \cdot F(s)] = \left\{ \begin{matrix} f(t-a) \quad t>a \\ 0 \quad \quad \quad \quad t<a \end{matrix} \right.$

Propiedad del cambio de escala

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(k \cdot s)] = \frac{1}{k} \cdot f(\frac{t}{k})$

Donde $k$ representa una constante.

Transformada inversa de Laplace en las derivadas

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle {\mathcal{L}}^{-1}[F^{(n)} (s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{d^n}{ds^n} F(s) \right] = {(-1)}^{n} \cdot t^n \cdot f(t)$

Transformada inversa de Laplace en las integrales

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\int_{s}^{\infty}{F(u) du} \right] = \frac{f(t)}{t}$

Multiplicación por s^n.

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ y $f(0)=0$ , entonces

$\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s)] = f'(t)$

Por lo que, multiplicando por $s$ produce el efecto de derivar $f(t)$ .

Si $f(0) \ne 0$ , entonces

$\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s) - f(0)] = f'(t)$

O también

$\mathcal{L}^{-1}[s \cdot F(s)] = f'(t) - f(0) \cdot \delta (t)$

donde $\delta (t)$ representa la función delta de Dirac o la función de impulso unitario.

División por s.

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{F(s)}{s}\right] = \int_{0}^{t}{f(u) du}$

De manera que la división por $s$ (o multiplicación por 1/s) produce el efecto de integrar $f(t)$ entre 0 y $t$ .

Propiedad de convolución.

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ y $\mathcal{L}^{-1}[G(s)] = g(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s) \ G(s)] = \int_{0}^{t}{f(u) \ g(t-u) \ du} = F*G$

La expresión $F*G$ se llama la convolución de $F$ y $G$ , y este teorema se llama el teorema de convolución o propiedad de convolución.

Propiedades de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Propiedad de linealidad

Primera propiedad de translacion

Segunda propiedad de translacion

Propiedad del cambio de escala

Transformada inversa de Laplace en las derivadas

Transformada inversa de Laplace en las integrales

Multiplicación por s^n.

División por s.

Propiedad de convolución.

Publicado por Cesar Reyes

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Propiedades de la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Propiedad de linealidad

Primera propiedad de translacion

Segunda propiedad de translacion

Propiedad del cambio de escala

Transformada inversa de Laplace en las derivadas

Transformada inversa de Laplace en las integrales

Multiplicación por s^n.

División por s.

Propiedad de convolución.

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