Problemas resueltos que involucran la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Problema 1. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^2+9}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^2+9}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+a^2} \right]$

donde $a^2 = 9$ (provocando que $a=3$ ). Para este, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at}$

Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{3} \sin{3t}$

Problema 2. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{4}{s-2}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{4}{s-2}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{s-2} \right]$

$\displaystyle f(t) = 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-2} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-a} \right]$

donde $a = 2$ . Para este, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-a} \right] = e^{at}$

Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-2} \right]$

$\displaystyle f(t) = 4 (e^{2t})$

$\displaystyle f(t) = 4 e^{2t}$

Problema 3. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^4}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^4}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^4} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^4} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^4} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]$

donde $n + 1= 4$ (es decir, $n=3$ ). Para este caso, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^n}{n!}$

para $n=0, 1, 2, \cdots$ . Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^4} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{t^3}{3!}$

$\displaystyle f(t) = \frac{t^3}{6}$

Problema 4. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{s}{s^2+2}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{s}{s^2+2}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+2} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \right]$

donde $a^2 = 2$ (provocando que $\displaystyle a=\sqrt{2}$ ). Para este caso, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \right] = \cos{at}$

Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+2} \right]$

$\displaystyle f(t) = \cos{\sqrt{2} t}$

Problema 5. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{6s}{s^2-16}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{6s}{s^2-16}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{6s}{s^2-16} \right]$

$\displaystyle f(t) = 6 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2-16} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2-16} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2-a^2} \right]$

donde $a^2 = 16$ (provocando que $a=4$ ). Para este caso, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2-a^2} \right] = \cosh{at}$

Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = 6 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2-16} \right]$

$\displaystyle f(t)] = 6 \left(\cosh{4t} \right)$

$\displaystyle f(t)] = 6 \cosh{4t}$

Problema 6. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^2-3}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^2-3}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2-3} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2-3} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+9} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2-a^2} \right]$

donde $a^2 = 3$ (provocando que $\displaystyle a=\sqrt{3}$ ). Para este caso, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2-a^2} \right] = \frac{1}{a} \sinh{at}$

Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2-3} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{\sqrt{3}} \sinh{\sqrt{3} t}$

Problema 7. Hallar $\mathcal{L}^{-1}$ para $\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^{3/2}}$ .

Solución. Utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ para llevar a cabo la transformada inversa de Laplace en ambos miembros, resulta

$\displaystyle F(s) = \frac{1}{s^{3/2}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{3/2}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{3/2}} \right]$

La función del segundo miembro es idéntica a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{3/2}} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right]$

donde $n + 1= 3/2$ (es decir, $n=1/2$ ). Para este caso, esta expresión es igual a

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{n+1}} \right] = \frac{t^n}{\Gamma (n+1)}$

para $n>-1$ . Entonces, el resultado final es

$\displaystyle f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^{3/2}} \right]$

$\displaystyle f(t) = \frac{t^{1/2}}{\Gamma (3/2)}$

$\displaystyle f(t) = \frac{t^{1/2}}{\frac{1}{2} \Gamma (1/2)}$

$\displaystyle f(t) = \frac{t^{1/2}}{\frac{1}{2} \sqrt{\pi}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{2t^{1/2}}{\sqrt{\pi}}$

$\displaystyle f(t) = \frac{2\sqrt{t}}{\sqrt{\pi}}$

$\displaystyle f(t) = 2 \sqrt{\frac{t}{\pi}}$

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Publicado por Cesar Reyes

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