Propiedad del cambio de escala en la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Introducción

Si $\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t)$ , entonces

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(ks)] = \frac{1}{k} \cdot f \left(\frac{t}{k} \right)$

Donde $k$ representa una constante.

Demostración

Sea

$\displaystyle F(s) = \int_0^{\infty}{e^{-st} f(t) \ dt}$

Cambiando $s$ por $ks$

$\displaystyle F(ks) = \int_0^{\infty}{e^{-kst} f(t) \ dt}$

$\displaystyle F(ks) = \int_0^{\infty}{e^{-kt \cdot s} f(t) \ dt}$

Aplicando la sustitución $u=kt$ y $du=k \ dt$ , resulta

$\displaystyle F(ks) = \int_0^{\infty}{e^{-s \cdot u} f \left(\frac{u}{k} \right) \ \left(\frac{1}{k} du \right)}$

$\displaystyle F(ks) = \frac{1}{k} \int_0^{\infty}{e^{-su} f \left(\frac{u}{k} \right) \ du}$

$\displaystyle F(ks) = \frac{1}{k} \cdot f \left(\frac{t}{k} \right)$

Problemas resueltos

Problema 1. Si $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{t}}}{\sqrt{\pi t}}$ , hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-a/s}}{s^{1/2}} \right]$ donde $a>0$ .

Solución. Tomando la función

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{t}}}{\sqrt{\pi t}}$

Aplicando la propiedad del cambio de escala de la transformada inversa de Laplace, resulta que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{(ks)^{1/2}} \right] = \frac{1}{k} \cdot \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi \cdot \frac{t}{k}}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{(ks)^{1/2}} \right] = \frac{1}{k} \cdot \frac{\sqrt{k} \ \cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi \cdot t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{(ks)^{1/2}} \right] = \frac{\sqrt{k}}{k} \cdot \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{\sqrt{ks}} \right] = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{\sqrt{s}} \right] = \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{\sqrt{s}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

Cambiando $k$ por $\displaystyle \frac{1}{a}$ , resulta que

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/(ks)}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{t}{k}}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-1/k \cdot 1/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{\frac{1}{k} t}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-a \cdot 1/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{at}}}{\sqrt{\pi t}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-a/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{at}}}{\sqrt{\pi t}}$

Se concluye que

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-a/s}}{s^{1/2}} \right] = \frac{\cos{2 \sqrt{at}}}{\sqrt{\pi t}}$

Problema 2. Si $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s\sqrt{s+1}} \right] = \text{fer} \ (\sqrt{t})$ , hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s\sqrt{s+a}} \right]$ , donde $a>0$ .

Solución. Tomando la función

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s\sqrt{s+1}} \right] = \text{fer} \ (\sqrt{t})$

Aplicando la propiedad del cambio de escala para la transformada inversa de Laplace, se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{ks \sqrt{ks+1}} \right] = \frac{1}{k} \text{fer} \ \left(\sqrt{\frac{t}{k}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{k s \sqrt{k \left(s+\frac{1}{k} \right)}} \right] = \frac{1}{k} \text{fer} \ \left( \sqrt{\frac{t}{k}} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{k \cdot s \sqrt{k} \sqrt{s+\frac{1}{k}}} \right] = \frac{1}{k} \text{fer} \ \left( \sqrt{\frac{1}{k} \cdot t} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{k} \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} \cdot \frac{1}{s \sqrt{s+\frac{1}{k}}} \right] = \frac{1}{k} \text{fer} \ \left( \sqrt{\frac{1}{k} \cdot t} \right)$

$\displaystyle \frac{1}{k} \mathcal{L}^{-1} \left[\sqrt{\frac{1}{k}} \cdot \frac{1}{s \sqrt{s+\frac{1}{k}}} \right] = \frac{1}{k} \text{fer} \ \left( \sqrt{\frac{1}{k} \cdot t} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\sqrt{\frac{1}{k}} \cdot \frac{1}{s \sqrt{s+\frac{1}{k}}} \right] = \text{fer} \ \left( \sqrt{\frac{1}{k} \cdot t} \right)$

Cambiando $\displaystyle \frac{1}{k}$ por $a$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\sqrt{a} \cdot \frac{1}{s \sqrt{s+a}} \right] = \text{fer} \ \left( \sqrt{a \cdot t} \right)$

$\displaystyle \sqrt{a} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s \sqrt{s+a}} \right] = \text{fer} \ \left( \sqrt{at} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s \sqrt{s+a}} \right] = \frac{1}{\sqrt{a}} \text{fer} \ \left( \sqrt{at} \right)$

Se concluye que

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s \sqrt{s+a}} \right] = \frac{1}{\sqrt{a}} \text{fer} \ \left( \sqrt{at} \right)$

Propiedad del cambio de escala en la transformada inversa de Laplace. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

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