Introducción

Si \mathcal{L}^{-1}[F(s)] = f(t) y \mathcal{L}^{-1}[G(s)] = g(t), entonces

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s) \ G(s)] = \int_{0}^{t}{f(u) \ g(t-u) \ du} = f*g

La expresión F*G se llama la convolución de F y G, y este teorema se llama el teorema de convolución o propiedad de convolución.

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular \displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right].

Solución. Para la expresión que está dentro, se puede factorizar lo siguiente

\displaystyle \frac{s}{(s^2+a^2)^2} = \frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2}

Del primer término del producto, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \right] = \cos{at}

Y en el segundo término del producto, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at}

Ahora, de la función del problema

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right]

y utilizando el teorema de convolución, resulta que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s) \ G(s)] = \int_{0}^{t}{f(u) \ g(t-u) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \int_{0}^{t}{\cos{au} \cdot \frac{1}{a} \sin{a(t-u)} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{\cos{au} \sin{a(t-u)} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{\cos{au} \ (\sin{at} \cos{au} - \cos{at} \sin{au}) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{(\cos{au} \sin{at} \cos{au} - \cos{at} \sin{au} \cos{au}) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{(\cos^2{au} \sin{at} - \cos{at} \sin{au} \cos{au}) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{\cos^2{au} \sin{at} \ du} - \frac{1}{a} \int_{0}^{t}{\cos{at} \sin{au} \cos{au} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at} \int_{0}^{t}{\cos^2{au} \ du} - \frac{1}{a} \cos{at} \int_{0}^{t}{\sin{au} \cos{au} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{a} \sin{at} \int_{0}^{t}{\left(\frac{1+\cos{2au}}{2} \right) \ du} - \frac{1}{a} \cos{at} \int_{0}^{t}{\sin{au} \cos{au} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} \sin{at} \int_{0}^{t}{\left(1+\cos{2au} \right) du} - \frac{1}{a} \cos{at} \int_{0}^{t}{\sin{au} \cos{au} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} \sin{at} \left[u + \frac{1}{2a} \sin{2au} \right]^t_0 - \frac{1}{a} \cos{at} \left[\frac{1}{2a} \sin^2{au} \right]_0^t

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} \sin{at} \left(t + \frac{1}{2a} \sin{2at} \right) - \frac{1}{a} \cos{at} \left(\frac{1}{2a} \sin^2{at} \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} \sin{at} \left(t + \frac{1}{a} \cdot \frac{\sin{2at}}{2} \right) - \frac{1}{a} \cos{at} \left(\frac{1}{2a} \sin^2{at} \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} \sin{at} \left(t + \frac{1}{a} \sin{at} \cos{at} \right) - \frac{1}{a} \cos{at} \left(\frac{1}{2a} \sin^2{at} \right)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} t \sin{at} + \frac{1}{2a^2} \sin^2{at} \cos{at} - \frac{1}{2a^2}\sin^2{at} \cos{at}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{s^2+a^2} \cdot \frac{1}{s^2+a^2} \right] = \frac{1}{2a} t \sin{at}

Por lo tanto,

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+a^2)^2} \right] = \frac{1}{2a} t \sin{at}

Problema 2. Calcular \displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2(s+1)^2} \right].

Solución. Para la expresión que está dentro, se puede factorizar lo siguiente

\displaystyle \frac{1}{s^2 (s+1)^2} = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2}

Del primer término del producto, su transformada inversa de Laplace es

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] = t

Y del segundo término

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2} \right] = t e^{-t}

Ahora, de la función del problema

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2 (s+1)^2} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right]

y utilizando el teorema de convolución, resulta que

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}[F(s) \ G(s)] = \int_{0}^{t}{f(u) \ g(t-u) \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = \int_{0}^{t}{u \ (t-u) e^{t-u} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = \int_{0}^{t}{(ut-u^2) e^{t-u} \ du}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = \left[(u^2-ut)(e^{-u}) - (t-2u)(e^{-u}) + 2e^{-u} \right]_{0}^{t}

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = (t^2-t \cdot t)(e^{-t}) - (t-2t)(e^{-t}) + 2e^{-t} - 0 + (t)(1) - 2(1)

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = 0 + t e^{-t} + 2e^{-t} - 0 + t - 2

\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(s+1)^2} \right] = t e^{-t} + 2e^{-t} + t - 2

Finalmente

\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2(s+1)^2} \right] = t e^{-t} + 2e^{-t} + t - 2

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Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web.

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