Método de las ecuaciones diferenciales para obtener la transformada inversa de Laplace de una función. Laplace.

Introducción

Este método consiste en convertir la función F(s) en una ecuación diferencial por medio de sus derivadas, aplicar los teoremas correspondientes de la transformada de Laplace y determinar sus constantes de integración. A continuación se muestra un procedimiento en general para aplicar este método.

Paso 1. Remplazar $F(s)$ por $Y(s)$ .

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [F(s)] \rightarrow Y(s) =F(s)$

Paso 2. Determinar sus derivadas

$Y(s) = F(s)$ , $Y'(s) = F'(s)$ , $Y''(s)=F''(s)$ , …

Paso 3. Tomar la última derivada y aplicar sustitución con los resultados de las derivadas de menor orden.

$P(s) \ Y''(s) + Q(s) Y'(s) + R(s) Y(s) = H(s)$

donde $P(s)$ , $Q(s)$ , $R(s)$ y $H(s)$ son funciones que pueden ser variables o constantes, dependiendo del desarrollo de los resultados de cada derivada evaluada.

Paso 4. Utilizar de los teoremas o propiedades de la transformada de Laplace en la ecuación diferencial desarrollada.

Paso 5. Despejar $y(t)$ .

Paso 6. Determinar las constantes de integración (aplicando valores muy grandes o muy pequeños para las variables $t$ y $s$ ).

Paso 7. Se cambia $y(t)$ por $\mathcal{L}^{-1} [Y(s)]$ y también $Y(s)$ por la función equivalente $F(s)$ dentro del símbolo de $\mathcal{L}^{-1}$ para concluir el resultado final.

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[e^{-\sqrt{s}} \right]$

Solución. Sea $\displaystyle Y(s) =e^{-\sqrt{s}}$ y se determina hasta su segunda derivada.

$\displaystyle Y(s) =e^{-\sqrt{s}}$

$\displaystyle Y'(s) = - \frac{1}{2\sqrt{s}} e^{-\sqrt{s}} = -\frac{e^{-\sqrt{s}}}{2 s^{1/2}}$

$\displaystyle Y''(s) = \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4s} + \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4s^{3/2}}$

Atendiendo el resultado de la segunda derivada

$\displaystyle Y''(s) = \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4s} + \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4s^{3/2}}$

$\displaystyle s Y''(s) = \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4} + \frac{e^{-\sqrt{s}}}{4s^{1/2}}$

$\displaystyle s Y''(s) = \frac{Y(s)}{4} - \frac{Y'(s)}{2}$

$\displaystyle 4s Y''(s) = Y(s) - 2Y'(s)$

$\displaystyle 4s Y''(s) + 2Y'(s) - Y(s) = 0$

Sabiendo que $Y(s) = \mathcal{L} [y(t)]$ , $Y'(s) = - \mathcal{L} [t \ y(t)]$ y $Y''(s) = \mathcal{L} [t^2 \ y(t)]$ (incluyendo $\displaystyle sY''(s) = \mathcal{L} \left[\frac{d}{dt} [t^2 \ y(t)] \right]$ ), resulta

$\displaystyle 4 \ \mathcal{L} \left[\frac{d}{dt} [t^2 \ y(t)] \right] - 2 \ \mathcal{L} [t \ y(t)] - \mathcal{L} [y(t)] = 0$

$\displaystyle 4 \left(\mathcal{L} \left[2t \ y(t) + t^2 \frac{dy}{dt} \right] \right) - 2 \ \mathcal{L} [t \ y(t)] - \mathcal{L} [y(t)] = 0$

$\displaystyle 4 \left(2\mathcal{L} [t \ y(t)] + \mathcal{L} \left[t^2 \frac{dy}{dt} \right] \right) - 2 \ \mathcal{L} [t \ y(t)] - \mathcal{L} [y(t)] = 0$

$\displaystyle 8\ \mathcal{L} [t \ y(t)] + 4 \ \mathcal{L} \left[t^2 \frac{dy}{dt} \right] - 2 \ \mathcal{L} [t \ y(t)] - \mathcal{L} [y(t)] = 0$

$\displaystyle 4 \ \mathcal{L} \left[t^2 \frac{dy}{dt} \right] + 6 \ \mathcal{L} [t \ y(t)] - \mathcal{L} [y(t)] = 0$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[4t^2 \frac{dy}{dt} + 6t \ y(t) - y(t) \right] = 0$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[4t^2 \frac{dy}{dt} + (6t- 1) y(t) \right] = 0$

$\displaystyle 4t^2 \frac{dy}{dt} + (6t - 1) y(t) = 0$

Aplicando el método de separación de variables, se tiene que

$\displaystyle \frac{dy}{y(t)} + \left(\frac{6t - 1}{4t^2} \right) dt = 0$

$\displaystyle \frac{dy}{y(t)} + \left(\frac{3}{2t} - \frac{1}{4t^2} \right) dt = 0 \ dt$

$\displaystyle \int{\frac{dy}{y(t)}} + \int{\left(\frac{3}{2t} - \frac{1}{4t^2} \right) \ dt} = \int{0 \ dt}$

$\displaystyle \ln{y(t)} + \frac{3}{2} \ln{t} + \frac{1}{4t} = C_1$

$\displaystyle \ln{y(t)} + \ln{t^{3/2}} + \frac{1}{4t} = C_1$

$\displaystyle \ln{[y(t) \ t^{3/2}]} = - \frac{1}{4t} + C_1$

$\displaystyle \ln{[y(t) \ t^{3/2}]} = \ln{e^{(-\frac{1}{4t} + C_1)}}$

$\displaystyle y(t) \ t^{3/2} = Ce^{-\frac{1}{4t}}$

$\displaystyle y(t) = \frac{Ce^{-\frac{1}{4t}}}{t^{3/2}}$

Continuando

$\displaystyle y(t) \ t = \frac{Ce^{-\frac{1}{4t}}}{t^{1/2}}$

$\displaystyle t \ y(t) = \frac{Ce^{-\frac{1}{4t}}}{t^{1/2}}$

Ahora de la expresión $t \ y(t)$ , se aplica la transformada de Laplace

$\displaystyle \mathcal{L} \left[t \ y(t) \right] = - \frac{d}{ds} [\mathcal{L}[y(t)]]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[t \ y(t) \right] = - \frac{d}{ds} [Y(s)]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[t \ y(t) \right] = - \frac{d}{ds} [e^{-\sqrt{s}}]$

$\displaystyle \mathcal{L} \left[t \ y(t) \right] = - \frac{e^{-\sqrt{s}}}{2 \sqrt{s}}$

Analizando lo siguiente, para grandes valores de $s$ ,

$\displaystyle t \ y(t) \approx \frac{C}{t^{1/2}}$ y $\displaystyle \mathcal{L}[t \ y(t)] \approx \frac{c \sqrt{\pi}}{\sqrt{s}}$

y para valores pequeños de $s$ ,

$\displaystyle t \ y(t) \approx \frac{C}{t^{1/2}}$ y $\displaystyle \mathcal{L}[t \ y(t)] \approx \frac{1}{2 \sqrt{s}}$

Entonces, por el teorema del valor final

$\displaystyle \frac{C \sqrt{\pi}}{\sqrt{s}} = \frac{1}{2 \sqrt{s}}$

$\displaystyle C \sqrt{\pi} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle C = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

Sustituyendo en la función $y(t)$

$\displaystyle y(t) = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{1}{4t}}}{t^{3/2}}$

$\displaystyle y(t) = \frac{e^{-\frac{1}{4t}}}{2 \sqrt{\pi} \ t^{3/2}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \frac{e^{-\frac{1}{4t}}}{2 \sqrt{\pi} \ t^{3/2}}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [e^{-\sqrt{s}}] = \frac{e^{-\frac{1}{4t}}}{2 \sqrt{\pi} \ t^{3/2}}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} [e^{-\sqrt{s}}] = \frac{e^{-\frac{1}{4t}}}{2 \sqrt{\pi} \ t^{3/2}}$

Método de las ecuaciones diferenciales para obtener la transformada inversa de Laplace de una función. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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