Ecuaciones integrales de tipo convolutorio en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Una ecuación integral de singular importancia por sus aplicaciones es

$\displaystyle y(t) = f(t) + \int_{0}^{t}{\kappa (t-u)\ y(u) \ du}$

Esta ecuación es de tipo convolución y puede escribirse como

$\displaystyle y(t) = f(t) + \kappa(t) * y(t)$

Tomando la trsnformada de Laplace a ambos lados y suponiendo que existen $\mathcal{L} [f(t)] = F(s)$ y $\mathcal{L}[\kappa (t)] = \mathcal{K}(s)$ , se determina que

$\displaystyle Y(s) = F(s) + \mathcal{K}(s) Y(s)$

Despejando $Y(s)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{F(s)}{1 - \mathcal{K}(s)}$

La solución requerida puede hallarse tomando las inversas (aplicando transformada inversa de Laplace).

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver la ecuación integral $\displaystyle y(t) = t^2 + \int_0^t{y(u) \ \sin{(t-u)} \ du}$ .

Solución. La ecuación integral se puede expresar de la siguiente manera

$\displaystyle y(t) = t^2 + \int_0^t{y(u) \ \sin{(t-u)} \ du}$

$\displaystyle y(t) = t^2 + y(t) * \sin{t}$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros, se tiene que

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [t^2 + y(t) * \sin{t}]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] = \mathcal{L} [t^2] + \mathcal{L} [y(t) * \sin{t}]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2!}{s^3} + Y(s) \cdot \frac{1}{s^2+1}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^3} + Y(s) \cdot \frac{1}{s^2+1}$

$\displaystyle Y(s) - Y(s) \cdot \frac{1}{s^2+1} = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle \left(1 - \frac{1}{s^2+1} \right) Y(s) = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle \left(\frac{s^2}{s^2+1} \right) Y(s) = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2 (s^2+1)}{s^5}$

$\displaystyle Y(s) = 2 \left(\frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^5} \right)$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos lados

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 2 \mathcal{L}^{-1} \left[\left(\frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^5} \right) \right]$

$\displaystyle y(t) = 2 \left(\frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \right)$

$\displaystyle y(t) = 2 \left(\frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} \right)$

$\displaystyle y(t) = t^2 + \frac{1}{12} t^4$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(t) = t^2 + \frac{1}{12} t^4$

Problema 2. Resolver la ecuación integral $\displaystyle \int_0^t{y(u) \ y(t-u) \ du} = 16 \sin{4t}$ .

Solución. La ecuación integral se puede escribir de la siguiente manera

$\displaystyle \int_0^t{y(u) \ y(t-u) \ du} = 16 \sin{4t}$

$\displaystyle y(t) * y(t) = 16 \sin{4t}$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t) * y(t)] = 16 \mathcal{L} [\sin{4t}]$

$\displaystyle Y(s) \cdot Y(s) = 16 \left(\frac{4}{s^2+16} \right)$

$\displaystyle [Y(s)]^2 = \frac{64}{s^2+16}$

Despejando $Y(s)$ ,

$\displaystyle Y(s) = \sqrt{\frac{64}{s^2+16}}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{\pm 8}{\sqrt{s^2+16}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{\pm 8}{\sqrt{s^2+16}} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \pm 8 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{\sqrt{s^2+16}} \right]$

$\displaystyle y(t) = \pm 8 \cdot J_0 (4t)$

$\displaystyle y(t) = \pm 8 \ J_0 (4t)$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(t) = \pm 8 \ J_0 (4t)$

Esto quiere decir que tanto $y(t) = 8 \ J_0 (4t)$ como $y(t) = - 8 \ J_0 (4t)$ son soluciones.

Ecuaciones integrales de tipo convolutorio en la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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