Ecuaciones de diferencias. Laplace.

Introducción

Una ecuación que relaciona la función $y(t)$ con una o más funciones $y(t-\alpha)$ , donde $\alpha$ es una constante, se llama una ecuación de diferencias.

En múltiples aplicaciones se puede formular una ecuación de diferencias de la cual se pretenderá que la función incógnita $y(t)$ resulte sometida a ciertas condiciones prescritas. La determinación de esta función, es decir la solución de la ecuación de diferencias, frecuentemente puede determinarse utilizando la transformada de Laplace.

Ciertas ecuaciones de diferencias en las cuales están relacionados los términos de la sucesión $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , … , $a_n$ pueden resolverse mediante la transformada de Laplace.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $3y(t) - 4 y(t-1) + y(t-2)=t$ si $y(t)=0$ para $t<0$ .

Solución. Aplicando la transformada en ambos lados

$\displaystyle 3y(t) - 4 y(t-1) + y(t-2)=t$

$\displaystyle \mathcal{L} [3y(t) - 4 y(t-1) + y(t-2)] = \mathcal{L} [t]$

$\displaystyle 3 \mathcal{L} [y(t)] - 4 \mathcal{L} [y(t-2)] + \mathcal{L} [y(t-1)] = \mathcal{L} [t]$

Para obtener $\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)]$ , se realiza lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = \int_0^{\infty}{e^{-st} \ y(t-1) \ dt}$

Haciendo que $u=t-1$ y $du=dt$ ,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = \int_{-1}^{\infty}{e^{-s(u+1)} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = \int_{-1}^{\infty}{e^{-su} e^{-s} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} \int_{-1}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} \int_{-1}^{0}{e^{-su} \ y(u) \ du} + e^{-s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

Como $y(t)=0$ para $t<0$ , lo mismo ocurre para $y(u)$ .

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} (0) + e^{-s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} \mathcal{L} [y(u)]= e^{-s} \mathcal{L} [y(t)]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-1)] = e^{-s} Y(s)$

Y para $\mathcal{L} [yt-2)]$ ,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = \int_0^{\infty}{e^{-st} \ y(t-2) \ dt}$

Haciendo que $u=t-2$ y $du=dt$ ,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = \int_{-2}^{\infty}{e^{-s(u+2)} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = \int_{-2}^{\infty}{e^{-su} e^{-2s} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} \int_{-2}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} \int_{-2}^{0}{e^{-su} \ y(u) \ du} + e^{-2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

Como $y(t)=0$ para $t<0$ , lo mismo ocurre para $y(u)$ .

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} (0) + e^{-2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} \mathcal{L} [y(u)]= e^{-2s} \mathcal{L} [y(t)]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t-2)] = e^{-2s} Y(s)$

Regresando y sustituyendo,

$\displaystyle 3 \mathcal{L} [y(t)] - 4 \mathcal{L} [y(t-1)] + \mathcal{L} [y(t-2)] = \mathcal{L} [t]$

$\displaystyle 3 Y(s) - 4 e^{-s} \ Y(s) + e^{-2s} \ Y(s) = \frac{1!}{s^2}$

$\displaystyle 3 Y(s) - 4 e^{-s} \ Y(s) + e^{-2s} \ Y(s) = \frac{1}{s^2}$

Despejando $Y(s)$

$\displaystyle (3 - 4 e^{-s} + e^{-2s}) Y(s) = \frac{1}{s^2}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2(3 - 4 e^{-s} + e^{-2s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2(1-e^{s})(3-e^{-s})}$

Luego,

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2} \cdot \frac{1}{(1-e^{s})(3-e^{-s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{s^2} \left(\frac{1/2}{1-e^{s}} - \frac{1/2}{3-e^{-s}} \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2 s^2} \left(\frac{1}{1-e^{s}} - \frac{1}{3-e^{-s}} \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2 s^2} \left(\frac{1}{1-e^{s}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{e^{-s}}{3}} \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2 s^2} \left[\left(1 + e^{-s} + e^{-2s} + e^{-3s} + \cdots \right) - \frac{1}{3} \left(1 + \frac{e^{-s}}{3} + \frac{e^{-2s}}{3^2} + \frac{e^{-3s}}{3^3} + \cdots \right) \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2 s^2} \left[1 - \frac{1}{3} + \left(e^{-s} + e^{-2s} + e^{-3s} + \cdots \right) - \frac{1}{3} \left(\frac{e^{-s}}{3} + \frac{e^{-2s}}{3^2} + \frac{e^{-3s}}{3^3} + \cdots \right) \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2 s^2} \left[\frac{2}{3} + \left(e^{-s} + e^{-2s} + e^{-3s} + \cdots \right) - \frac{1}{3} \left(\frac{e^{-s}}{3} + \frac{e^{-2s}}{3^2} + \frac{e^{-3s}}{3^3} + \cdots \right) \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{3s^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{s^2} \left(e^{-s} + e^{-2s} + e^{-3s} + \cdots \right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3s^2} \left(\frac{e^{-s}}{3} + \frac{e^{-2s}}{3^2} + \frac{e^{-3s}}{3^3} + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{3s^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{s^2} (e^{-ns})} - \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{3s^2} \left(\frac{e^{-ns}}{3^n} \right)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{3s^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(1 - \frac{1}{3^n} \right) \frac{e^{-ns}}{s^2}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{3s^2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}{\left(1 - \frac{1}{3^n} \right) \frac{e^{-ns}}{s^2}} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \frac{1}{3} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2} \right] + \frac{1}{2} \mathcal{L}^{-1} \left[\sum_{n=1}^{\infty}{\left(1 - \frac{1}{3^n} \right) \frac{e^{-ns}}{s^2}} \right]$

$\displaystyle y(t) = \frac{t}{3} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{[t]}{\left(1 - \frac{1}{3^n} \right) (t-n)}$

donde $[t]$ es el mayor entero menor o igual a $t$ . Finalmente,

$\displaystyle \therefore y(t) = \frac{t}{3} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{[t]}{\left(1 - \frac{1}{3^n} \right) (t-n)}$

Problema 2. Sea $y(t)=a_n$ para $n \le t \le n+1$ donde $n=0,1,2, \cdots$ . Calcular (a) $\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)]$ y $\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)]$ en función de $\mathcal{L} [y(t)] = Y(s)$ .

Solución. Para resolver esto, se parte desde la definición de la transformada de Laplace.

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] = \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ y(t) \ dt}$

Solución (a). Para $y(t+1)$ , se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ y(t+1) \ dt}$

Haciendo la sustitución $u=t+1$ y $du=dt$ ,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = \int_{1}^{\infty}{e^{-s(u-1)} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \int_{1}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du} - e^s \int_{0}^{1}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

Si $y(t) = a_n$ , para $y(u)$ será $a_0$ (en $0 \le t <1$ ).

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) - e^s \int_{0}^{1}{e^{-su} \ a_0 \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) - a_0 e^s \int_{0}^{1}{e^{-su} \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) - a_0 e^s \left[-\frac{1}{s}e^{-su} \right]_{0}^{1}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) + \frac{a_0}{s}e^{s}(e^{-s}- 1)$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) - \frac{a_0}{s}e^{s}(1-e^{-s})$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [y(t+1)] = e^s \ Y(s) - \frac{a_0}{s}e^{s}(1-e^{-s})$

Solución (b). Para $y(t+2)$ , se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ y(t+2) \ dt}$

Haciendo la sustitución $u=t+2$ y $du=dt$ ,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = \int_{2}^{\infty}{e^{-s(u-2)} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \int_{2}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du} - e^{2s} \int_{0}^{1}{e^{-su} \ y(u) \ du} - e^{2s} \int_{1}^{2}{e^{-su} \ y(u) \ du}$

Si $y(t) = a_n$ , para la primera integral, $y(u)$ será $a_0$ (en $0 \le t <1$ ) y en la segunda integral, $y(u)$ será $a_1$ (en $1 \le t <2$ ).

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du} - e^{2s} \int_{0}^{1}{e^{-su} \ a_0 \ du} - e^{2s} \int_{1}^{2}{e^{-su} \ a_1 \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \int_{0}^{\infty}{e^{-su} \ y(u) \ du} - a_0 e^{2s} \int_{0}^{1}{e^{-su} \ du} - a_1 e^{2s} \int_{1}^{2}{e^{-su} \ du}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \ Y(s) - a_0 e^{2s} \left[-\frac{1}{s} e^{-su} \right]_{0}^{1} - a_1 e^{2s} \left[-\frac{1}{s} e^{-st} \right]_{1}^{2}$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \ Y(s) - a_0 e^{2s} \left[-\frac{1}{s} (e^{-s} - 1) \right] - a_1 e^{2s} \left[-\frac{1}{s} (e^{-2s} - e^{-s}) \right]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \ Y(s) - a_0 e^{2s} \left(\frac{1-e^{-s}}{s} \right) - a_1 e^{2s} \left(\frac{e^{-s} - e^{-2s}}{s} \right)$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(a_0e^s+a_1)}{s}$

Finalmente,

$\displaystyle \therefore \mathcal{L} [y(t+2)] = e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(a_0e^s+a_1)}{s}$

Problema 3. Suponiendo que $|a_|$ , $n=0,1,2, \cdots$ denota una sucesión de términos constantes definidos en forma recursiva para la ecuación de diferencias

$\displaystyle a_{n+2} - 5 a_{n+1} + 6 a_n = 0$

con $a_0=0$ y $a_1=1$ , hallar una fórmula para $a_n$ , es decir, resolver la ecuación de diferencias para $a_n$ .

Solución. Si se define la función $y(t)=a_n$ en $n \le t \le (n+1)$ donde $n=0,1,2, \cdots$ , entonces para $a_{n+1} = y(t+1)$ y $a_{n+2} = y(y+2)$ . Así que, la forma recursiva se puede escribir de la siguiente manera

$\displaystyle a_{n+2} - 5 a_{n+1} + 6 a_n = 0$

$\displaystyle y(t+2) - 5 y(t+1) + 6 y (t) = 0$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2) - 5 y(t+1) + 6 y (t)] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] - 5 \mathcal{L} [y(t+1)] + 6 \mathcal{L} [y (t)] = \mathcal{L} [0]$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(a_0e^s+a_1)}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) - \frac{a_0}{s}e^{s}(1-e^{-s}) \right]+ 6 Y(s) = 0$

Recordando que $a_0=0$ y $a_1=1$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(1)}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) - \frac{0}{s}e^{s}(1-e^{-s}) \right]+ 6 Y(s) = 0$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s}}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) \right]+ 6 Y(s) = 0$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} - 5 e^s \ Y(s) + 6 Y(s) = 0$

Despejando $Y(s)$

$\displaystyle (e^{2s} - 5 e^s + 6) Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s (e^{2s} - 5 e^s + 6)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} \cdot \frac{1}{e^{2s} - 5 e^s + 6}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} \cdot \frac{1}{(e^s -3)(e^{s} - 2)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} \left[\frac{1}{(e^s -3)} - \frac{1}{(e^{s} - 2)} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{e^s}{(e^s -3)} - \frac{e^s}{(e^{s} - 2)} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1-3e^{-s})} - \frac{1}{(1-2e^{-s})} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\left(1+3 e^{-s} + 3^2 e^{-2s} + 3^3 e^{-3s} + \cdots \right) - \left(1 + 2 e^{-s} + 2^2 e^{-2s} + 2^3 e^{-3s} + \cdots \right)\right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left(1+3 e^{-s} + 3^2 e^{-2s} + 3^3 e^{-3s} + \cdots \right) - \frac{1-e^{-s}}{s} \left(1 + 2 e^{-s} + 2^2 e^{-2s} + 2^3 e^{-3s} + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = \left(\int_0^1{3^0 e^{-st} \ dt} + \int_1^2{3 e^{-st} \ dt} + \int_2^3{3^2 e^{-st} \ dt} + \cdots \right) - \left(\int_0^1{2^0 e^{-st} \ dt} + \int_1^2{2 e^{-st} \ dt} + \int_2^3{2^2 e^{-st} \ dt} + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = \mathcal{L} [3^n] - \mathcal{L}[2^n]$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} [\mathcal{L} [3^n] - \mathcal{L} [2^n]]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} [\mathcal{L} [3^n]] - \mathcal{L}^{-1} [\mathcal{L}[2^n]]$

$\displaystyle y(t) = 3^n - 2^n$

Recordando que $y(t)=a_n$ , el resultado final es

$\displaystyle \therefore a_n = 3^n - 2^n$

donde $n=0,1,2, \cdots$ .

Problema 4. Resolver la ecuación de diferencias

$\displaystyle a_{n+2} - 5 a_{n+1} + 6 a_n = 4^n$

con $a_0=0$ y $a_1=1$ .

$\displaystyle a_{n+2} - 5 a_{n+1} + 6 a_n = 4^n$

$\displaystyle y(t+2) - 5 y(t+1) + 6 y (t) = 4^n$

Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2) - 5 y(t+1) + 6 y (t)] = \mathcal{L} [4^n]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y(t+2)] - 5 \mathcal{L} [y(t+1)] + 6 \mathcal{L} [y (t)] = \mathcal{L} [4^n]$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(a_0e^s+a_1)}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) - \frac{a_0}{s}e^{s}(1-e^{-s}) \right]+ 6 Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s})}$

Recordando que $a_0=0$ y $a_1=1$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})(1)}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) - \frac{0}{s}e^{s}(1-e^{-s}) \right]+ 6 Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s})}$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s}}{s} - 5 \left[ e^s \ Y(s) \right]+ 6 Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s})}$

$\displaystyle e^{2s} \ Y(s) - \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} - 5 e^s \ Y(s) + 6 Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s})}$

Despejando $Y(s)$

$\displaystyle (e^{2s} - 5 e^s + 6) Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} + \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s (e^{2s} - 5 e^s + 6)} + \frac{1-e^{-s}}{s(1-4e^{-s}) (e^{2s} - 5 e^s + 6)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s (e^s -3)(e^{s} - 2)} + \frac{e^{s}-1}{s(e^{s} - 4) (e^s -3)(e^{s} - 2)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} \cdot \frac{1}{(e^s -3)(e^{s} - 2)} + \frac{e^{s}-1}{s} \cdot \frac{1}{(e^{s}-4) (e^s -3)(e^{s} - 2)}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{e^s(1-e^{-s})}{s} \left[ \frac{1}{(e^s -3)} - \frac{1}{(e^{s} - 2)} \right]+ \frac{e^{s}-1}{s} \left[ \frac{1/2}{(e^{s}-4)} - \frac{1}{(e^s -3)} + \frac{1/2}{(e^{s} - 2)} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left[ \frac{1}{(1 -3e^{-s})} - \frac{1}{(1 - 2e^{-s})} \right]+ \frac{1-e^{-s}}{s} \left[ \frac{1/2}{(1-4e^{-s})} - \frac{1}{(1-3e^{-s})} + \frac{1/2}{(1-2e^{-s})} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1 -3e^{-s})} \right] - \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1 - 2e^{-s})} \right] + \frac{1}{2} \cdot \frac{1-e^{-s}}{s} \left[ \frac{1}{(1-4e^{-s})}\right] - \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1-3e^{-s})} \right] + \frac{1}{2} \cdot \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1-2e^{-s})} \right]$

$\displaystyle Y(s) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-e^{-s}}{s} \left[ \frac{1}{(1-4e^{-s})}\right] - \frac{1}{2} \cdot \frac{1-e^{-s}}{s} \left[\frac{1}{(1-2e^{-s})} \right]$