Ecuaciones diferenciales de diferencias. Laplace.

Introducción

Una ecuación diferencial de diferencias es una ecuación diferencial que presenta derivadas de la función $y(t)$ . Un ejemplo sería

$y'(t) = y(t-1) + 2t$

Es posible encontrar también ecuaciones integro-diferenciales de diferencias, las cuales son ecuaciones diferenciales de diferencias en las cuales la función incógnita aparece bajo el signo de la integral.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $\displaystyle y'(t) + y(t-1) = t^2$ si $y(t)=0$ para $t \le 0$ .

Solución. Aplicando la transformada de Laplace en ambos miembros,

$\displaystyle y'(t) + y(t-1) = t^2$

$\displaystyle \mathcal{L} [y'(t) + y(t-1)] = \mathcal{L} [t^2]$

$\displaystyle \mathcal{L} [y'(t)] + \mathcal{L} [y(t-1)] = \mathcal{L} [t^2]$

$\displaystyle s Y(s) - y(0) + e^{-s} Y(s) = \frac{2!}{s^3}$

$\displaystyle s Y(s) - (0) + e^{-s} Y(s) = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle s Y(s) + e^{-s} Y(s) = \frac{2}{s^3}$

Despejando $Y(s)$ ,

$\displaystyle (s + e^{-s}) Y(s) = \frac{2}{s^3}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^3 (s + e^{-s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^3 \cdot s (1 + \frac{e^{-s}}{s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4 (1 + \frac{e^{-s}}{s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{e^{-s}}{s})}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{2}{s^4} \left(1 - \frac{e^{-s}}{s} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{e^{-3s}}{s^3} + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = 2 \left(\frac{1}{s^4} - \frac{e^{-s}}{s^5} + \frac{e^{-2s}}{s^6} - \frac{e^{-3s}}{s^7} + \cdots \right)$

$\displaystyle Y(s) = 2 \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}}}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos lados,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 2 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}}} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 2 \ \sum_{n=0}^{\infty}{\left\{\mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}} \right] \right\}}$

Analizando la función dentro de la suma,

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{e^{-ns}}{s^{n+4}} \right] = \left\{ \begin{matrix} \frac{{(t-n)}^{n+3}}{(n+3)!} & t \ge n\\ 0 & \text{de otra manera} \end{matrix} \right.$

Así que, el resultado final es

$\displaystyle \therefore y(t) = 2 \ \sum_{n=0}^{[t]}{ \frac{{(t-n)}^{n+3}}{(n+3)!}}$

donde $[t]$ representa el mayor entero menor o igual a $t$ .

Publicado por Cesar Reyes

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