Sistema de números complejos. Laplace.

Introducción

Un número complejo tiene la forma $a+ib$ donde $a$ y $b$ son números reales llamados parte real y parte imaginaria, y para $\displaystyle i = \sqrt{-1}$ se llama unidad imaginaria. Dos números complejos $a + ib$ y $c + id$ son iguales si y solo si $a=c$ y $b=d$ . Se ha considerado un conjunto de números reales como un subconjunto del conjunto de números complejos, en el caso de que $b=0$ . Para el caso complejo $0+i0$ corresponde al real 0.

El módulo (valor absoluto) de $a+ib$ se define como $|a+ib| = \sqrt{a^+b^2}$ . El conjugado complejo $a+ib$ está definido como $a-ib$ . El conjugado complejo del número complejo $z$ se representa como $\overline{z}$ o también $z^*$ .

En el momento de que se desarrollan operaciones entre números complejos se puede operar como el álgebra de los números reales, reemplazando a $i^2$ por «-1» cada vez que aparezca. En los números complejos no están definidas las desigualdades.

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $(4-2i) + (-6 + 5i)$ .

Solución.

$(4-2i) + (-6 + 5i) = 4 - 2i - 6 + 5i = 4 - 6 - 2i + 5i= -2 + 3i$

Problema 2. Resolver $(-7 + 3i) - (2 - 4i)$ .

Solución.

$(-7 + 3i) - (2 - 4i) = - 7 + 3i - 2 + 4i = -7 - 2 + 3i + 4i = -9 + 7i$

Problema 3. Resolver $(3 - 2i)(1 + 3i)$ .

Solución.

$(3 - 2i)(1 + 3i) = (3)(1) + (3)(3i) + (-2i)(1) + (-2i)(3i) = 3 + 9i - 2i - 6i^2$

$= 3 + 9i - 2i - 6(-1) = 3 + 9i - 2i + 6 = 3 + 6 + 9i - 2i = 9 + 7i$

Problema 4. Resolver $\displaystyle \frac{-5 + 5i}{4 - 3i}$ .

Solución.

$\displaystyle \frac{-5 + 5i}{4 - 3i} = \frac{-5 + 5i}{4 - 3i} \cdot \frac{4 + 3i}{4 + 3i} = \frac{(-5+5i)(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)}$

$\displaystyle = \frac{(-5)(4) + (-5)(3i) + (5i)(4) + (5i)(3i)}{((4)(4) + (4)(3i) + (-3i)(4) + (-3i)(3i)} = \frac{-20 - 15i + 20i + 15i^2}{16 + 12i - 12i - 9i^2}$

$\displaystyle = \frac{-20 - 15i + 20i + 15(-1)}{16 + 12i - 12i - 9(-1)} = \frac{-20 - 15i + 20i - 15}{16 + 12i - 12i + 9} = \frac{-35 + 5i}{25}$

$\displaystyle = - \frac{35}{25} + \frac{5i}{25} = - \frac{7}{5} + \frac{1}{5}i$

Problema 5. Resolver $|3 - 4i|$

Solución.

$\displaystyle |3 - 4i| = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Problema 6. Resolver $z^3 - 2z - 4 = 0$

Solución. Aplicando el método de Ruffinni, la expresión tiene la siguiente factorización

Aplicando el metodo de Ruffinni para el problema 6.

Entonces

$\displaystyle (z-2)(z^2 + 2z + 2) = 0$

Resolviendo el segundo paréntesis por fórmula general (donde los coeficientes son $a = 1, b=2 y c=2$ ), resulta

$\displaystyle z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$\displaystyle z = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4} \sqrt{-1}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-2 \pm 2i}{2} = \frac{-2}{2} \pm \frac{2i}{2} = -1 \pm i$

Finalmente, el conjunto de soluciones es $z=-1 + i$ y $z=-1 - i$

Sistema de números complejos. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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