Cálculo y variable compleja. Laplace.

Funciones

Si a cada elemento $z$ , variable, de un conjunto de complejos se le hace corresponder uno a varios valores de una variable $w$ , se dice que $w$ está relacionado con la variable compleja $z$ , y se escribe $w=f(z)$ .

Una relación es una función si a cada valor de $latez z$ le corresponde solamente un valor de $w$ ; de otro modo sería una relación multívoca o plurívoca. En general, se puede escribir $w= f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ , donde $u$ y $v$ son funciones reales de $x$ y de $y$ .

A menos que se especifique lo contrario, se supone siempre que $f(z)$ es una función. Una relación multívoca puede considerarse como una colección de funciones.

Límites y continuidad

En las definiciones de límite y continuidad en una función de variable compleja son las mismas a las de las funciones de la variable real. Se dice que $l$ es el límite de $f(z)$ cuando $z$ tiende a $z_0$ si, dado cualquier $\epsilon >0$ , existe un $\delta >0$ tal que $|f(z)-l|<\epsilon$ siempre que $0<z-z_0<\delta$ .

Análogamente, se dice que $f(z)$ es continua en $z_0$ si, dado cualquier $\epsilon >0$ , existe algún $\delta>0$ tal que $latex $|f(z) - f(z_0)|<\epsilon$ cuando $|z-z_0|<\delta$ . Es decir, la función $f(z)$ es continua en $z_0$ si

$\displaystyle \lim_{z \rightarrow z_0}{f(z)} =f(z_0)$

Derivadas

Si $f(z)$ es una función definida en alguna región del plano $z$ , su derivada está representada como $f'(z)$ y se define como

$\displaystyle f'(z) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0}{\frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}}$

siempre y cuando exista el límite independientemente de la manera como $\Delta z \rightarrow 0$ . Si existe el límite de $f'(z)$ en $z = z_0$ entonces, se dice, $f(z)$ es derivable en $z_0$ . Si dicho límite existe para todo $z$ tal que $|z-z_0|<\delta$ para algún $\delta>0$ , entonces $f(z)$ se llama analítica en $z_0$ . Si el límite existe para todos los elementos $z$ de una región $\mathbf R$ , $f(z)$ se llama analítica en $\mathbf R$ . Para que $f(z)$ sea analítica, debe ser una función continua; sin embargo, la recíproca no siempre es cierta.

Las funciones elementales de variable compleja se definen como extensiones naturales de las correspondientes de variable real. Cuando existe un desarrollo en serie para una función de variable real $f(x)$ , se puede usar la serie como definición, con tal solo reemplazar la variable $x$ por $z$ .