Una condición necesaria y suficiente para que w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y) sea analítica en una región \mathbf R es que u y v deberán satisfacer las ecuaciones de Cauchy – Riemann

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}

Si estas derivadas parciales son continuas en \mathbf R, las ecuaciones son condiciones suficientes para que f(z) sea analítica en \mathbf R.

Si existen y son continuas las derivadas segundas de u y v con respecto a x y y, se encuentra que

\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

\displaystyle \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0

De tal manera que las partes real e imaginaria satisfacen la ecuación de Laplace en dos dimensiones ({\mathbf R}^2). Las funciones que satisfacen la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas.

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Publicado por Cesar Reyes

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