Integral de Fourier y transformada de Fourier. Laplace.

Integral de Fourier

Suponiendo que $f(x)$ satisface las siguientes condiciones:

$f(x)$ satisface las condiciones de Dirichlet en cada intervalo finito $-l \le x \le l$ .
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|f(x)| \, dx}$ converge, es decir, $f(x)$ es absolutamente integrable en $-\infty < x < \infty$ .

Entonces, el teorema de la intergal de Fourier establece que

$\displaystyle f(x) = \int_{0}^{\infty}{[A(\lambda) \cos{\lambda x} + B(\lambda) \sin{\lambda x}] \, d\lambda}$ – – – (1)

donde

$\displaystyle A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos{\lambda x} \, dx}$ – – – (2)

$\displaystyle B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \sin{\lambda x} \, dx}$ – – – (3)

Esto se puede expresar en forma equivalente como

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\lambda = -\infty}^{\infty}{\int_{u=-\infty}^{\infty}{f(u) \cos{\lambda (x-u)} \, du} \, d\lambda}$ – – – (4)

La ecuación (1) es válido si $x$ es un punto de continuidad de $f(x)$ . Si $x$ es un punto de discontinuidad, se debe remplazar a $f(x)$ por $\frac{1}{2} |f(x+0) + f(x-0)|$ como en el caso de las series de Fourier. Tal como sucede con las series de Fourier, las condiciones de Dirichlet son suficientes pero no necesarias.

Forma compleja de las integrales de Fourier

La integral de Fourier

$\displaystyle f(x) = \int_{0}^{\infty}{[A(\lambda) \cos{\lambda x} + B(\lambda) \sin{\lambda x}] \, d\lambda}$ – – – (1)

de coeficientes

$\displaystyle A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \cos{\lambda x} \, dx}$ – – – (2)

$\displaystyle B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \sin{\lambda x} \, dx}$ – – – (3)

puede expresarse en forma compleja como

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{i \lambda x} \, d\lambda} \int_{-\infty}^{\infty}{f(u) \ e^{-i \lambda u} \, du}$

$\displaystyle f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(u) \ e^{i \lambda (x - u)} \, du} \, d\lambda}$

Transformadas de Fourier

De la integral de Fourier

$\displaystyle f(x) = \int_{0}^{\infty}{[A(\lambda) \cos{\lambda x} + B(\lambda) \sin{\lambda x}] \, d\lambda}$

se deduce que si

$\displaystyle F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i \lambda u} \ f(u) \, du}$

Entonces

$\displaystyle f(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i \lambda u} \ F(\lambda) \, du}$

que es $f(x)$ al sustituir $u$ por $x$ .

La función $F(\lambda)$ se llama la transformada de Fourier de $f(x)$ y usualmente se denota por $F(\lambda) = \mathcal{F}[f(x)]$ . La función $f(x)$ es la transformada inversa de Fourier d $F(\lambda)$ y se denota por $f(x) = \mathcal{F}^{-1}[F(\lambda)]$ . Se dice también que la ecuación

$\displaystyle f(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i \lambda u} \ F(\lambda) \, du}$

es una fórmula de inversión correspondiente a la ecuación

$\displaystyle F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i \lambda u} \ f(u) \, du}$

Se observa que las constantes que preceden los signos de integración son arbitrarias; la única condición es que su producto sea $1/2\pi$ . Si cada una vale $1/\sqrt{2\pi}$ se obtiene la llamada forma simétrica.

Transformadas en seno y coseno de Fourier

La transformada (infinita) en seno de Fourier de $f(x)$ , $0<x<\infty$ , se define como

$\displaystyle F_s(\lambda) = \int_{0}^{\infty}{f(u) \sin{\lambda u} \, du}$

La función $f(x)$ se llama la inversa de la transformada en seno de Fourier de $F_s(\lambda)$ y está dada por

$\displaystyle f(x) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}{F_s (\lambda) \sin{\lambda x} \ d\lambda}$

La transformada (infinita) en coseno de Fourier de $f(x)$ , $0<x<\infty$ , se define como

$\displaystyle F_c (\lambda) = \int_{0}^{\infty}{f(u) \cos{\lambda u} \, du}$

La función $f(x)$ se llama la inversa de la transformada de coseno de Fourier de $F_c (\lambda)$ , y está dada por

$\displaystyle f(x) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty}{F_c (\lambda) \cos{\lambda x} \, d\lambda}$

Las transformadas de Fourier son útiles para resolver ecuaciones diferenciales.

Teorema de convolución

La convolución de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ , donde $-\infty < x < \infty$ , se define como

$\displaystyle f * g = \int_{-\infty}^{\infty}{f(u) \ g(x-u) \, du} = h(x)$

Un resultado importante, conocido como el teorema de la convolución para transformadas de Fourier es el siguiente:

Teorema. Si $h(x)$ es la convolución de $f(x)$ y $g(x)$ , entonces

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{h(x) \ e^{-i \lambda x} \, dx} = \left[\int_{-\infty}^{\infty}{f(x) \ e^{-i \lambda x} \, dx} \right] \left[\int_{-\infty}^{\infty}{g(x) \ e^{-i \lambda x} \, dx} \right]$

o también

$\mathcal{F}[f * g] = \mathcal{F}[f(x)] \ \mathcal{F}[g(x)]$

es decir, la transformada de Fourier de la convolución de $f$ y $g$ es el producto de las transformadas de Fourier de $f$ y $g$ .

Identidad de Parseval para integrales de Fourier

Si la transformada de fourier de $f(x)$ es $F(\lambda)$ , entonces

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{|F(x)|^2 \ dx} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}{|F(\lambda)|^2 \ d\lambda}$

Esto se llama la identidad de Parseval para integral de Fourier y es susceptible de generalizaciones.

Relaciones entre las transformadas de Laplace y Fourier

Se considera que la función

$\displaystyle f(t) = \left\{ \begin{matrix} e^{-xt} \ \Phi (t) \quad \quad t>0 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad t<0 \end{matrix} \right.$

Al sustituir $\lambda$ por $y$ , en la expresada transformada de Fourier

$\displaystyle F(\lambda) = \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-i \lambda u} \ f(u) \, du}$

se tiene lo siguiente

$\displaystyle \mathcal{F}[f(t)] = \int_{0}^{\infty}{e^{-(x+iy)t} \ \Phi(t) \, dt} = \int_{0}^{\infty}{e^{-st} \ \Phi(t) \, dt}$

donde $s=x + iy$ . En esta última expresión, el miembro de la parte derecha representa la transformada de Laplace de $\Phi(t)$ ; este resultado establece la relación entre las transformadas de Laplace y Fourier, e indica además la necesidad de considerar a $s$ como una variable compleja $x+iy$ .