Operaciones con vectores y sus propiedades. Cálculo vectorial.

Operaciones con vectores

Sean $\bold{u} = (u_1, u_2)$ y $\bold{v} = (v_1, v_2)$ vectores y sea “c” un escalar. Las operaciones con vectores son las siguientes:

1. La suma vectorial de u y v es el vector

$\bold{u}+\bold{v}=({u}_{1} + {v}_{1}, {u}_{2} + {v}_{2})$

Figura 1. Suma vectorial (vista general).

2. El múltiplo escalar de «c» y u es el vector

$c\bold{u}=(c{u}_{1},c{u}_{2})$

Figura 3. Multiplicación vectorial (vista general).

3. El negativo de v es el vector

$- \bold{v} = (-1)\bold{v} = (-{v}_{1},-{v}_{2})$

4. La diferencia de u y v es

$\bold{u} - \bold{v} = \bold{u} + (-\bold{v}) = ({u}_{1} - {v}_{1},{u}_{2} - {v}_{2})$

Figura 5. resta, diferencia o sustracción de vectores.

Problema resuelto

Problema. Dados v=(-2,5) y w=(3,4), encontrar cada uno de los vectores.

a) (1/2) v
b) w – v
c) v + 2w

Solución. De los siguientes vectores

$\bold{v}=(-2,5) \quad y \quad \bold{w} = (3,4)$

Solución a). Realizando la operación indicada

$\displaystyle \frac{1}{2} \bold{v} = \frac{1}{2} (-2,5)$

$\displaystyle \frac{1}{2} \bold{v} = \left(-\frac{2}{2}, \frac{5}{2} \right)$

Solución b). Realizando la operación indicada

$\bold{w} - \bold{v} = (3,4) - (-2,5)$

$\bold{w} - \bold{v} = [3-(-2), 4-5)]$

$\bold{w} - \bold{v} = (5,-1)$

Solución c). Realizando la operación indicada

$\bold{v} + 2\bold{w} = (-2,5) + 2(3,4)$

$\bold{v} + 2\bold{w} = (-2,5) + (6,8)$

$\bold{v} + 2\bold{w} = (-2+6,5+8)$

$\bold{v} + 2\bold{w} = (4,13)$

Propiedades de las operaciones con vectores

Sean u, v y w los vectores en el plano, y sean c y d los escalares. Las propiedades de las operaciones con vectores son las siguientes:

\bold{u} + \bold{v} = \bold{v} + \bold{u}

(\bold{u} + \bold{v}) + \bold{w} = \bold{v} + (\bold{u} + \bold{w})

Vector unitario en la dirección de v

Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector unitario u es:

$\displaystyle \bold{u} = \frac{\bold{v}}{||\bold{v}||} = \frac{1}{||\bold{v}||}\bold{v}$

Problemas resueltos.

Problema. Hallar un vector unitario en la dirección de v = (-2,5) y verificar cual es su magnitud.

Solución. Hallando el vector unitario en base a la fórmula:

$\displaystyle \bold{u} = \frac{\bold{v}}{||\bold{v}||} = \frac{(-2,5)}{\sqrt{{(-2)}^{2}+{(5)}^{2}}}$

$\displaystyle \bold{u} = \frac{(-2,5)}{\sqrt{4+23}} = \frac{(-2,5)}{\sqrt{29}}$

$\displaystyle \bold{u} = (-\frac{2}{\sqrt{29}},\frac{5}{\sqrt{29}})$

Y verificando la magnitud del vector u:

$\displaystyle ||\bold{u}||= u = \sqrt{{u}_{1}^{2} + {u}_{2}^{2}}$

$\displaystyle ||\bold{u}|| = \sqrt{\left(\frac{-2}{\sqrt{29}}\right)^{2} + \left({\frac{5}{\sqrt{29}}}\right)^{2}}$

$\displaystyle ||\bold{u}|| = \sqrt{\frac{4}{29} + \frac{25}{29}} = \sqrt{\frac{29}{29}} = \sqrt{1} = 1$

$\displaystyle \therefore ||\bold{u}|| = 1$

Algo importante

La longitud de la suma de dos vectores no siempre es igual a la suma de sus longitudes. Para este tipo de casos, basta con tomar los vectores u y v mostrados en la figura _. Se debe considerar u y v como dos de los lados de un triángulo, para sí poder ver que la longitud del tercer lado sea ||u + v||, y se tiene

$\displaystyle ||\bold{u} + \bold{v}|| \le ||\bold{u} + \bold{v}||$

Figura 6. Representación gráfica de la desigualdad del triángulo.

La igualdad sólo se da si los vectores u y v tienen la misma dirección. A este resultado se le llama la desigualdad del triángulo para vectores.

Un comentario sobre “Operaciones con vectores y sus propiedades. Cálculo vectorial.”

Jed Isagawa dice:

5 julio, 2021 a las 11:34 pm

lol……. :):):):):):):)

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1. $\bold{u} + \bold{v} = \bold{v} + \bold{u}$	Propiedad conmutativa.
2. $(\bold{u} + \bold{v}) + \bold{w} = \bold{v} + (\bold{u} + \bold{w})$	Propiedad asociativa.
3. $\bold{u} + \bold{0} = \bold{u}$	Propiedad de la identidad aditiva.
4. $\bold{u} + (- \bold{u}) = \bold{0}$	Propiedad del inverso aditivo.
5. $c(d \bold{u}) = cd (\bold{u})$
6. $(c+d) \bold{u} = c\bold{u} + d\bold{u}$	Propiedad distributiva.
7. $c(\bold{u} + \bold{v}) = c\bold{v} + c\bold{u}$	Propiedad distributiva.
8. $1 \bold{u} = \bold{u}$ , $\bold{0} \bold{u} = \bold{0}$

Operaciones con vectores y sus propiedades. Cálculo vectorial.