Transformaciones de Y a Δ y viceversa. Circuitos eléctricos.

Introducción

Se considera el circuito de la siguiente figura. Se observa que esta red tiene el mismo número de elementos contenidos. Sin embargo, al intentar reducir el circuito a una red equivalente con una fuente $V_1$ y un resistor $R$ , en ningún lugar se encuentra un resistor conectado en serie o en paralelo con el otro. Una manera de se poder resolverlo es sustituir una parte de la red por un circuito equivalente, permitiendo reducir con facilidad la combinación de resistores a una sola resistencia equivalente. Esta conversión se denomina transformación Y a delta, o delta a Y.

Se considera las redes de las figuras 2 y 3, respectivamente. Se observa que los resistores de la figura 2 forman una Δ (delta), mientras que en la figura 3 forman una Y. Si ambas configuraciones se conectan únicamente en las tres terminales $a$ , $b$ y $c$ , sería de gran utilidad establecer una equivalencia entre ellas; es posible relacionar las resistencias de una red con las de la otra, de tal forma que las características en sus terminales sean la mismas. La relación entre estas dos configuraciones de red se llama la transformación Y-Δ.

Figura 2. Rede de resistencias en delta.

La transformación que relaciona las resistencias $R_1$ , $R_2$ y $R_3$ con $R_a$ , $R_b$ y $R_c$ se deriva como sigue: para que las dos redes sean equivalentes en cada par de terminales correspondientes, es necesario que la resistencia en tales terminales sea la misma (por ejemplo, la resistencia en las terminales $a$ y $b$ con $c$ en circuito abierto, debe ser la misma en ambas redes). Por lo tanto, al igualar las resistencias de cada par de terminales correspondientes, se obtiene las ecuaciones siguientes:

\displaystyle R_{ab} = R_a + R_b = \frac{R_2 (R_1+R_3)}{R_2 + R_1 + R_3}

\displaystyle R_{bc} = R_b + R_c = \frac{R_3 (R_1+R_2)}{R_3 + R_1 + R_2}

Este conjunto de ecuaciones puede resolverse para $R_a$ , $R_b$ y $R_c$ (esto es una transformación de Δ a Y); sus resultado son

\displaystyle R_a = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3}

\displaystyle R_b = \frac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}

Y también puede resolverse para $R_1$ , $R_2$ y $R_3$ (esto es una transformación de Y a Δ); sus resultados son

\displaystyle R_1 = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_a R_c}{R_b}

\displaystyle R_2 = \frac{R_a R_b + R_b R_c + R_a R_c}{R_c}

Este conjunto de soluciones son relaciones generales, y se aplican a cualquier conunto de resistencias conectadas en Y o en Δ. Para el caso balanceado en el que $R_a=R_b=R_c$ y $R_1 = R_2 = R_3$ , las ecuaciones anteriores se reducen a

$\displaystyle R_Y = \frac{1}{3} R_\Delta$

$\displaystyle R_\Delta = 3 R_Y$

Problema resuelto

Problema 1. Dada la red de la figura 4, encontrar la corriente de la fuente $I_S$ .

Solución. Se observa que ninguno de los resistores del circuito está en serie o en paralelo. Analizando más a detalle, la red indica que los resistores de 12 kΩ, 6 kΩ y 18 kΩ forman una delta que puede convertirse en una Y

al igual que las resistencias de 4 kΩ, 6 kΩ y 9 kΩ.

Además, los resistores de 12 kΩ, 6 kΩ y 4 kΩ forman una Y que pude transformarse en una delta

al igual que las resistencias de 18 kΩ, 6 kΩ y 9kΩ.

Cualquiera de estas conversiones lleva a una solución. Aquí se aplicará la transformación Δ a Y de los resistores de 12 kΩ, 6 kΩ y 18 kΩ que serán $R_1 = 12 \ \text{k} \Omega$ , $R_2 = 18 \ \text{k} \Omega$ y $R_3 = 6 \ \text{k} \Omega$ (figura 5), que lleva a lo siguiente: el valor de $R_a$ es

$\displaystyle R_a = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3}$

$\displaystyle R_a = \frac{(12 \ \text{k})(18 \ \text{k})}{12 \ \text{k} + 18 \ \text{k} + 6 \ \text{k}} = \frac{(12 \times 10^3)(18 \times 10^3)}{12 \times 10^3 + 18 \times 10^3 + 6 \times 10^3} = 6 \times 10^3 \Omega$

$\displaystyle R_a =6 \ \text{k} \Omega$

para $R_b$ , su valor es

$\displaystyle R_b = \frac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}$

$\displaystyle R_b = \frac{(18 \ \text{k})(6 \ \text{k})}{12 \ \text{k} + 18 \ \text{k} + 6 \ \text{k}} = \frac{(12 \times 10^3)(18 \times 10^3)}{12 \times 10^3 + 18 \times 10^3 + 6 \times 10^3} = 3 \times 10^3 \Omega$

$\displaystyle R_b =3 \ \text{k} \Omega$

y el valor de $R_c$ es

$\displaystyle R_c = \frac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}$

$\displaystyle R_c = \frac{(12 \ \text{k})(6 \ \text{k})}{12 \ \text{k} + 18 \ \text{k} + 6 \ \text{k}} = \frac{(12 \times 10^3)(18 \times 10^3)}{12 \times 10^3 + 18 \times 10^3 + 6 \times 10^3} = 2 \times 10^3 \Omega$

$\displaystyle R_c =2 \ \text{k} \Omega$

Con estos valores, el circuito toma la siguiente forma (figura 9).

Ahora, los resistores de 2 kΩ y 4 kΩ están serie, al igual que los resistores de 3 kΩ y 9kΩ.

$R_{S1} = 2 \ \text{k} \Omega + 4 \ \text{k} \Omega = 6 \ \text{k} \Omega$

$R_{S1} = 3 \ \text{k} \Omega + 9 \ \text{k} \Omega = 12 \ \text{k} \Omega$

El circuito reducido se muestra en la figura 10; se pude observar que las resistencias de 6 kΩ y 12 kΩ están en paralelo (su equivalente es observa en la figura 11).