Análisis de nodos para circuitos con fuentes de voltaje dependientes. Circuitos eléctricos.

Problemas resueltos

Problema 1. Se desea encontrar $I_o$ en la red de la figura 1.

Solución. Se observa (en la figura 1) que la fuente de voltaje independiente está conectada entre el nodo que no es de referencia nombrado como $V_1$ y el de referencia, una de las dos ecuaciones linealmente independientes es

$\displaystyle V_1 = 3 \ \text{V}$

Y la ecuación de control es

$\displaystyle I_x = \frac{V_2}{6 \ \text{k}}$

Luego, aplicando la LKC en el nodo 2, resulta

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle -2I_x + \frac{V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2 - V_1}{3 \ \text{k}} = 0$

Sabiendo que $V_1 = 3$ y $\displaystyle I_x = \frac{V_2}{6 \ \text{k}}$ ,

$\displaystyle -2 \left(\frac{V_2}{6 \ \text{k}} \right) + \frac{V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2 - 3}{3 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle - \frac{2 V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2}{3 \ \text{k}} - \frac{3}{3 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(- \frac{2}{6 \ \text{k}} + \frac{1}{6 \ \text{k}} + \frac{1}{3 \ \text{k}} \right) V_2 - \frac{1}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle V_2 = 6 \ \text{k}$

Figura 2. Indicando el nodo 2 del circuito para el análisis de LKC.

Finalmente, la corriente $I_o$ se obtiene

$\displaystyle I_o = \frac{V_2}{6 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_o = \frac{6}{6 \ \text{k}} = \frac{6}{6 \times 10^3} = 1 \times 10^{-3}$

$\displaystyle \therefore I_o = 1 \ \text{mA}$

Problema 2. Hallar $I_o$ en la red de la figura 3.

Solución. Se observa (en la figura 3) que de voltaje dependiente está conectada entre el nodo $V_1$ y el nodo de referencia.

$\displaystyle V_1 = (2 \ \text{k}) I_x$

Y también

$\displaystyle I_x = \frac{V_2}{1 \ \text{k}}$

Sustituyendo estas dos obtenidas, se tiene que

$\displaystyle V_1 = (2 \ \text{k}) I_x$

$\displaystyle V_1 = (2 \ \text{k}) \left(\frac{V_2}{1 \ \text{k}} \right)$

$\displaystyle V_1 = 2 V_2$

Luego, aplicando la LKC en el nodo 2, resulta

Figura 4. Señalando el nodo 2 para aplicar la LKC.

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_2 - V_1}{2 \ \text{k}} - 4 \ \text{m} + \frac{V_2}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_2}{2 \ \text{k}} - \frac{V_1}{2 \ \text{k}} - 4 \ \text{m} + \frac{V_2}{1 \ \text{k}} = 0$

Recordando que $\displaystyle V_1 = 2 V_2$

$\displaystyle \frac{V_2}{2 \ \text{k}} - \frac{2 V_2}{2 \ \text{k}} - 4 \ \text{m} + \frac{V_2}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2 \ \text{k}} - \frac{2}{2 \ \text{k}} + \frac{1}{1 \ \text{k}} \right) V_2 = 4 \ \text{m}$

$\displaystyle \left(\frac{1}{2 \ \text{k}} \right) V_2 = 4 \ \text{m}$

$\displaystyle V_2 = (4 \ \text{m})(2 \ \text{k}) = (4 \times 10^3)(2 \times 10^{-3})$

$\displaystyle V_2 = 8 \ \text{V}$

Entonces

$\displaystyle V_1 = 2 V_2$

$\displaystyle V_1 = 2 (8)$

$\displaystyle V_1 = 16 \ \text{V}$

Finalmente, $I_o$ es

$\displaystyle I_o = \frac{V_1 - V_2}{2 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_o = \frac{16 - 8}{2 \ \text{k}} = \frac{8}{2 \ \text{k}} = \frac{8}{2 \ \times 10^3} = 4 \times 10^{-3}$

$\displaystyle \therefore I_o = 4 \ \text{mA}$

Problema 3. Encontrar la corriente $I_o$ en la red de la figura 5.

Solución. Este circuito contiene tanto una fuente de voltaje independiente como una fuente de voltaje controlada por voltaje. Se observa que $V_3 = 6 \ \text{V}$ , $V_2 = V_x$ , y existe un supernodo entre los nodos $V_1$ y $V_2$ , la cual, su ecuación de restricción es

$\displaystyle V_1 - V_2 = 2 V_x$

Recordando que $V_x = V_2$

$\displaystyle V_1 - V_2 = 2 V_2$

$\displaystyle V_1 = V_2 + 2 V_2$

$\displaystyle V_1 = 3 V_2$

Aplicando la LKC al supernodo se obtiene

Figura 6. Indicando el supernodo del circuito para aplicar LKC.

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1}{12 \ \text{k}} + \frac{V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2 - V_3}{12 \ \text{k}} + \frac{V_1 - V_3}{6 \ \text{k}} = 0$

Recordando que $V_1 = 3 V_2$ y $V_3 = 6$ , resulta

$\displaystyle \frac{3 V_2}{12 \ \text{k}} + \frac{V_2}{6 \ \text{k}} + \frac{V_2 - 6}{12 \ \text{k}} + \frac{3V_2 - 6}{6 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{12 \ \text{k}} + \frac{1}{6 \ \text{k}} + \frac{1}{12 \ \text{k}} + \frac{3}{6 \ \text{k}} \right) V_2 - \frac{6}{12 \ \text{k}} - \frac{6}{6 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \left(\frac{1}{1 \ \text{k}} \right) V_2 - \frac{18}{12 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle V_2 = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \ \text{V}$

Así que el valor de $V_1$ es

$\displaystyle V_1 = 3 V_2$

$\displaystyle V_1 = 3 \left(\frac{3}{2} \right)$

$\displaystyle V_1 = \frac{9}{2} \ \text{V}$

Finalmente, la corriente $I_o$ es

$\displaystyle I_o = \frac{V_1}{12 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_o = \frac{\frac{9}{2}}{12 \ \text{k}} = \frac{\frac{9}{2}}{12 \times 10^3} = \frac{9}{24} \times 10^{-3} = \frac{3}{8} \times 10^{-3}$

$\displaystyle \therefore I_o = \frac{3}{8} \ \text{mA}$

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