Centro de gravedad de un sólido de revolución. Cálculo integral.

Introducción

El centro de gravedad mecánico de un sólido homogéneo coincide con el centro de gravedad geométrico de dicho cuerpo. Si el sólido tiene un plano de simetría, el centro de gravedad se localizará en dicho plano.

Para obtener una definición analítica del centro de gravedad de un sólido de revolución, se considera la figura 1, donde $OX$ es el eje geométrico del sólido. El centro de gravedad estará en este eje. Sea $dv$ un elemento de volumen, es decir, un cilindro de revolución de altura $\Delta x$ y radio $y$ . Entonces $dv = \pi y^2 \Delta x$ .

El momento de este cilindro con respecto al plano que pasa por $OY$ perpendicular a $OX$ es: $dM_y=x dv= \pi xy^2 \Delta x$ .

El momento del sólido se determina mediante el teorema fundamental del cálculo, y $\overline{x}$ se obtiene por

$\displaystyle V \, \overline{x} = M_y = \int_a^b{\pi xy^2 \, dx} = \pi \int_a^b{xy^2 \, dx}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{V} = \frac{\pi \int_a^b{xy^2 \, dx}}{V}$

El momento del cilindro con respeto al plano que pasa por $OX$ perpendicular a $OY$ es $\displaystyle dM_x = y \, dv = \pi x^2 y \, dy$ , ya que $dv=\pi x^2 \Delta y$ .

El momento del sólido se determina mediante el teorema fundamental del cálculo, y $y$ se obtiene por

$\displaystyle V \, \overline{y} = M_x = \int_a^b{ \pi x^2 y \, dy} = \pi \int_a^b{x^2 y \, dy}$

$\displaystyle \overline{y} = \frac{M_x}{V} = \frac{\pi \int_a^b{x^2 y \, dy}}{V}$

Problemas resueltos

Problema 1. Calcular el centro de gravedad del sólido de revolución generado al girar el área limitada por $OX$ y las curvas $ay=x^2$ y $x=a$ .

Solución. Se despeja la variable $y$ de la ecuación $ay=x^2$

$ay=x^2$

$\displaystyle y = \frac{x^2}{a}$

Después, se calcula el volumen del sólido de revolución en el eje $x$

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx} = \pi \int_0^a{\left(\frac{x^2}{a} \right)^2 \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_0^a{\left(\frac{x^4}{a^2} \right) \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \int_0^a{x^4 \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{5} x^5 + C\right]_0^a$

$\displaystyle V_x = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{5} (a)^5 - \frac{1}{5} (0)^5 \right]$

$\displaystyle V_x= \frac{\pi}{a^2} \left(\frac{a^5}{5} - 0 \right) = \frac{\pi}{5} a^3$

$\displaystyle V = V_x = \frac{\pi}{5} a^3$

Calculando el momento del sólido en el eje $x$

$\displaystyle M_y = \pi \int_a^b{xy^2 \, dx} = \pi \int_0^a{x \left(\frac{x^2}{a} \right)^2 \, dx}$

$\displaystyle M_y = \pi \int_0^a{x \left(\frac{x^4}{a^2} \right) \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \int_0^a{x^5 \, dx} = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{6} x^6 + C \right]_0^a$

$\displaystyle M_y = \frac{\pi}{a^2} \left[\frac{1}{6} (a)^6 - \frac{1}{6} (0)^6 \right] = \frac{\pi}{6} a^4$

$\displaystyle M_y = \frac{\pi}{6} a^4$

Calculando la coordenada del centro de gravedad

$\displaystyle \overline{x} = \frac{M_y}{V}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{\frac{\pi}{6} a^4}{\frac{\pi}{5} a^3}$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{5}{6} a$

Y para $\overline{y}$ será 0.

Finalmente, la coordenada del centro de gravedad del sólido es

$\displaystyle \therefore (\overline{x},\overline{y} ) = (\frac{5}{6} a,0)$

Problema 2. Calcular el centro de gravedad del sólido de revolución generado al girar el área limitada por $OY$ y las curvas $x^2-y^2=1$ , $y=0$ , $y=1$ .

Solución. De la ecuación $x^2-y^2=1$ , se despeja $x^2$

$\displaystyle x^2-y^2=1$

$\displaystyle x^2=1+y^2$

Después, se calcula el volumen del sólido de revolución en el eje $y$ .

$\displaystyle V_y = \pi \int_c^d{x^2 \, dy} = \pi \int_0^1{(1+y^2 ) \, dy}$

$\displaystyle V_y = \pi \left[y + \frac{1}{3} y^3 + C \right]_0^1 = \pi \left\{\left[(1)+\frac{1}{3} (1)^3 \right] - \left[0 + \frac{1}{3} (0)^3 \right] \right\}$