Obteniendo la resistencia Thévenin en circuitos que incluyen únicamente fuentes dependientes. Circuitos eléctricos.

Problemas resueltos

Problema 1. Determinar el equivalente de Thévenin para la red de la figura 1 en las terminales A-B.

Solución. Para resolverlo, es necesario aplicar una fuente de voltaje independiente, cuyo valor sería de 1 V y que será conectado a las terminales A-B, provocando que $\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{1}{I_o}$ (figura 2).

Figura 2. Conectando una fuente de voltaje de 1 V en las terminales A-B.

En la figura 2, al aplicar LKV alrededor del lazo externo, se tiene que

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{V_j} = 0$

$\displaystyle 1 - V_x - V_1 = 0$

$\displaystyle V_1 + V_x = 1$

Al usar LKC en el nodo $V_1$ , su ecuación es

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1}{1 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 2 V_x}{2 \ \text{k}} + \frac{V_1 - 1}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1}{1 \ \text{k}} + \frac{V_1}{2 \ \text{k}} - \frac{2 V_x}{2 \ \text{k}} + \frac{V_1}{1 \ \text{k}} - \frac{1}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{5}{2 \ \text{k}} V_1 - \frac{V_x}{1 \ \text{k}} = \frac{1}{1 \ \text{k}}$

$\displaystyle 5V_1 - 2 V_x = 2$

Con las ecuaciones obtenidas, se tiene el siguiente conjunto

Expresándolo en forma matrical

$\displaystyle \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & - 2 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_x \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_x \end{matrix} \right] = {\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right]}^{-1} \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_x \end{matrix} \right] = \left(-\frac{1}{7} \right) \left[\begin{matrix} - 2 & - 1 \\ \\ -5 & 1 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 \\ \\ 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \left(-\frac{1}{7} \right) \left(- 2 \right) & \left(-\frac{1}{7} \right) \left(-1 \right) \\ \\ \left(-\frac{1}{7} \right) (-5) & \left(-\frac{1}{7} \right) (1) \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 \\ \\ 2 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_x \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \\ \\ \frac{5}{7} & - \frac{1}{7} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 1 \\ \\ 2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \left(\frac{2}{7}\right)(1) + \left(\frac{1}{7} \right) (2) \\ \\ \left(\frac{5}{7} \right)(1) + \left(- \frac{1}{7} \right)(2) \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \\ \\ \frac{5}{7} - \frac{2}{7} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_x \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{4}{7} \\ \\ \frac{3}{7} \end{matrix} \right] \ \text{V}$

Entonces, $\displaystyle V_1 = \frac{4}{7} \ \text{V}$ y $\displaystyle V_x = \frac{3}{7} \ \text{V}$ . Luego, se determinarán los valores de las corriente $I_1$ , $I_2$ e $I_3$ . La corriente $I_1$ es

$\displaystyle I_1 = \frac{V_x}{1 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_1 = \frac{\frac{3}{7}}{1 \ \text{k}} = \frac{\frac{3}{7}}{1 \times 10^3} = \frac{3}{7} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_1 = \frac{3}{7} \ \text{mA}$

La corriente $I_2$ es

$\displaystyle I_2 = \frac{1 - 2 V_x}{1 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_2 = \frac{1 - 2 \left(\frac{3}{7} \right)}{1 \ \text{k}} = \frac{\frac{1}{7}}{1 \ \text{k}} = \frac{\frac{1}{7}}{1 \times 10^3} = \frac{1}{7} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_2 = \frac{1}{7} \ \text{mA}$

Y la corriente $I_3$ es

$\displaystyle I_3 = \frac{1}{2 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_3 = \frac{1}{2 \times 10^3} = \frac{1}{2} \times 10^{-3}$

$\displaystyle I_3 = \frac{1}{2} \ \text{mA}$

Por LKC, despejando $I_o$ , su valor es

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle -I_o + I_1 + I_2 + I_3 = 0$

$\displaystyle I_o = I_1 + I_2 + I_3$

$\displaystyle I_o = \frac{3}{7} \ \text{mA} + \frac{1}{7} \ \text{mA} + \frac{1}{2} \ \text{mA}$

$\displaystyle I_o = \frac{15}{14} \ \text{mA}$

Finalmente, la resistencia Thévenin es

$\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{1}{I_o}$

$\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{1}{\frac{15}{14} \ \text{m}} = \frac{1}{\frac{15}{14} \times 10^{-3}} = \frac{14}{15} \times 10^3$

$\displaystyle \therefore R_{\text{Th}} = \frac{14}{15} \ \text{k} \Omega$

Problema 2. Determine $R_{\text{Th}}$ en las terminales A-B de la red de la figura 3.

Solución. Para resolver este problema se conectará una fuente de corriente de 1 mA entre las terminales A-B, y con esto ayudará a calcular el voltaje de la terminal $V_2$ y posteriormente $R_{\text{Th}}$ (figura 4).

Figura 4. Conectando una fuente de corriente independiente de 1 mA en las terminales A-B.

Con la ayuda del análisis de nodos, se determinarán las ecuaciones de cada uno en los nodos 1 y 2. En el primer nodo, su ecuación es

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1 - 2000 I_x}{2 \ \text{k}} + \frac{V_1 - V_2}{3 \ \text{k}} + \frac{V_1}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{V_1}{2 \ \text{k}} - \frac{2000 I_x}{2 \ \text{k}} + \frac{V_1}{3 \ \text{k}} - \frac{V_2}{3 \ \text{k}} + \frac{V_1}{1 \ \text{k}} = 0$

$\displaystyle \frac{11}{6 \ \text{k}} V_1 - \frac{V_2}{3 \ \text{k}} - I_x = 0$

$\displaystyle 11 V_1 - 2 V_2 - (6 \ \text{k}) I_x = 0$

Y en el segundo nodo, su ecuación es

$\displaystyle \sum_{j=1}^n{I_j} = 0$

$\displaystyle \frac{V_2 - V_1}{3 \ \text{k}} + \frac{V_2}{2 \ \text{k}} - 1 \ \text{m} = 0$

$\displaystyle \frac{V_2}{3 \ \text{k}} - \frac{V_1}{3 \ \text{k}} + \frac{V_2}{2 \ \text{k}} - 1 \ \text{m} = 0$

$\displaystyle - \frac{V_1}{3 \ \text{k}} + \frac{5}{6 \ \text{k}} V_2 = 1 \ \text{m}$

$\displaystyle - 2V_1 + 5 V_2 = 6$

La ecuación de restricción es

$\displaystyle I_x = \frac{V_1}{1 \ \text{k}}$

Con estas tres ecuaciones, se tiene el siguiente sistema

\displaystyle 11 V_1 - 2 V_2 - (6 \ \text{k}) I_x = 0

Sustituyendo la ecuación (3) en (1), el sistema de ecuaciones se reduce a dos ecuaciones

\displaystyle 11 V_1 - 2 V_2 - (6 \ \text{k}) \left(\frac{V_1}{1 \ \text{k}} \right) = 0

Simplificando

Expresándolo en forma matricial, resulta

$\displaystyle \left[\begin{matrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = {\left[\begin{matrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right]}^{-1} \left[\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left(\frac{1}{21} \right) \left[\begin{matrix} 5 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \left(\frac{1}{21} \right) (5) & \left(\frac{1}{21} \right) (-2) \\ \\ \left(\frac{1}{21} \right) (-2) & \left(\frac{1}{21} \right) (5) \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 0 \\ \\ 6 \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{5}{21} & - \frac{2}{21} \\ \\ - \frac{2}{21} & \frac{5}{21} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} 0 \\ \\ 6 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \left(\frac{5}{21} \right)(0) + \left(- \frac{2}{21} \right)(6) \\ \\ \left(- \frac{1}{21} \right)(0) + \left(\frac{5}{21} \right)(6) \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 - \frac{12}{21} \\ \\ 0 + \frac{30}{21} \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{12}{21} \\ \\ \frac{30}{21} \end{matrix} \right]$

$\displaystyle \left[\begin{matrix} V_1 \\ \\ V_2 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} \frac{4}{7} \\ \\ \frac{10}{7} \end{matrix} \right] \ \text{V}$

Así que $\displaystyle V_1 = \frac{4}{7} \ \text{V}$ y $\displaystyle V_2 = \frac{10}{7} \ \text{V}$ .

Finalmente,

$\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{V_2}{1 \ \text{mA}} = \frac{V_2}{1 \ \text{m}}$

$\displaystyle R_{\text{Th}} = \frac{\frac{10}{7}}{1 \ \text{m}} = \frac{\frac{10}{7}}{1 \times 10^{-3}} = \frac{10}{7} \times 10^{3}$

$\displaystyle \therefore R_{\text{Th}} = \frac{10}{7} \ \text{k} \Omega$

$\displaystyle 11 V_1 - 2 V_2 - (6 \ \text{k}) \left(\frac{V_1}{1 \ \text{k}} \right) = 0$	(1)
$\displaystyle - 2V_1 + 5 V_2 = 6$	(2)

$\displaystyle 5 V_1 - 2 V_2 = 0$	(1)
$\displaystyle - 2V_1 + 5 V_2 = 6$	(2)

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Problemas resueltos

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